Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é utilizada para descrever o comportamento dos fluidos em movimento no interior de um tubo. Ela recebe esse nome em homenagem a Daniel Bernoulli, matemático suíço que a publicou em 1738.

Para compreender como a equação de Bernoulli foi obtida, observe a figura:

Representação do escoamento de um fluido em uma tubulação

Consideramos para essa figura um fluido ideal que apresenta as seguintes características:

• Escoamento linear – velocidade constante em qualquer ponto do fluído;

• Incompressível – com densidade constante;

• Sem viscosidade;

• Escoamento irrotacional.

Nesse caso, os fatores que interferem no escoamento do fluido são a diferença de pressão nas extremidades do tubo, a área de seção transversal e a altura.

Como o líquido está em movimento a uma determinada altura, ele possui energia potencial gravitacional e energia cinética. Dessa forma, a energia de cada porção de fluido é dada pelas equações:

E₁ = mgh₁ + m v₁² e E₂ = mgh₂ + m v₂²
                 2                                    2

Como os volumes e a densidade das duas porções do fluido são iguais, podemos substituir a massa m na expressão acima por:

m = ρ.V

As equações acima podem ser reescritas da seguinte forma:

E₁ = ρ.V (gh₁ + 1v₁² ) e E₂ = ρ.V(gh₂ + 1v₂² )
                     2                                         2

A variação de energia pode ser associada ao trabalho realizado pelo fluido durante o deslocamento entre as duas posições, como afirma o Teorema do Trabalho da Energia Cinética. Assim, podemos obter a equação:

E₂ – E₁ = F₁.S_{1 –} F₂.S₂

A força pode ser obtida pela expressão:

F = P.A

Dessa forma, a equação acima pode ser reescrita como:

ρ.V(gh₂ + 1v₂² ) - ρ.V (gh₁ + 1v₁² ) = (P₁ – P₂) . V
2                           2            

Agrupando os fatores que apresentam o subíndice 1 do lado esquerdo da igualdade e os que têm o subíndice 2, podemos rearranjar a expressão acima e obter a equação de Bernoulli:

ρ.V.g.h₁ + ρ.V. v₁² + P₁.V = ρ.V.g.h₂ + ρ.V. v₂² + P₂.V
          2                                          2

Essa equação também pode ser rescrita da seguinte forma:

ρ.V.g.h + ρ.V. v² + P.V = Constante
2        

A equação de Bernoulli é a principal equação dos estudos da Mecânica dos fluidos e explica, por exemplo, como os aviões mantêm-se no ar. A pressão exercida pelo ar que passa pelas asas do avião é menor do que a pressão em sua parte inferior. Essa diferença de pressão cria uma força de baixo para cima, sustentando o avião no ar.