Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma equação matemática que representa o princípio de Bernoulli e que é válida somente para fluidos ideais — incompressíveis, não viscosos, com escoamento ao longo de uma linha de corrente. Ela demonstra que, quando a velocidade do fluido decresce, a sua pressão cresce.
Resumo sobre equação de Bernoulli
- A equação de Bernoulli é a representação matemática do princípio de Bernoulli, sendo aplicada apenas em fluidos ideais.
- O princípio de Bernoulli diz que, em fluidos ideais, à medida que a velocidade do fluido aumenta, a sua pressão diminui e vice-versa.
- Um fluido ideal é não viscoso, tem escoamento permanente e ocorre ao longo de uma linha de corrente.
- A equação de Bernoulli aborda a relação da pressão e velocidade em diferentes pontos de um fluido.
- É usada na fabricação de vaporizadores, tubos de pitot e tubos de venturi.
O que é a equação de Bernoulli?
A equação de Bernoulli é a equação matemática que representa o princípio de Bernoulli. Ela se origina da lei da conservação da energia mecânica aplicada ao escoamento dos fluidos ideais.
Princípio de Bernoulli
O princípio de Bernoulli é o princípio representado pela equação de Bernoulli. Esse princípio diz que, em fluidos ideais, à medida que a velocidade do fluido aumenta, a sua pressão diminui e vice-versa. Para que um fluido seja ideal, ele precisa:
- Ser invíscido: sem a atuação de forças viscosas sobre ele.
- Ter escoamento permanente (incompressível): suas características, como massa específica e volume, não se alteram com o tempo.
- Ocorrer ao longo de uma linha de corrente (linha de trajetória de uma molécula do fluido).
Fórmulas da equação de Bernoulli
\(p_1 + \frac{\rho \ \cdot \ v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \ \cdot \ v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2 \)
\(p_1\) → pressão do fluido no ponto 1, medida em Pascal [\(Pa\)].
\(p_2\) → pressão do fluido no ponto 2, medida em Pascal [\(Pa\)].
\(v_1\) → velocidade do fluido no ponto 1, medida em metros por segundo [\(m/s\)].
\(v_2\) → velocidade do fluido no ponto 2, medida em metros por segundo [\(m/s\)].
\(z_1\) → altura do fluido no ponto 1, medida em metros [\(m\)].
\(z_2\) → altura do fluido no ponto 2, medida em metros [\(m\)].
\(p \) → massa específica, medida em [\(kg/m^3\)].
\(g\) → aceleração da gravidade, mede aproximadamente \(9,8 \ m/s^2\).
Também pode ser escrita como:
\(\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 \)
-
\(p_1\) → pressão do fluido no ponto 1, medida em Pascal [\(Pa\)].
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\(p_2\) → pressão do fluido no ponto 2, medida em Pascal [\(Pa\)].
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\(v_1\) → velocidade do fluido no ponto 1, medida em metros por segundo [\(m/s\)].
-
\(v_2\) → velocidade do fluido no ponto 2, medida em metros por segundo [\(m/s\)].
-
\(z_1\) → altura do fluido no ponto 1, medida em metros [\(m\)].
-
\(z_2\) → altura do fluido no ponto 2, medida em metros [\(m\)].
-
\(p \) → peso específico, medido em [\(kg/m^3\)].
-
\(g\) → aceleração da gravidade, mede aproximadamente \(9,8 \ m/s^2\).
Exemplo:
No ponto 1 de uma mangueira a 8 m do chão, o fluido se move com velocidade de 3 m/s e sofre uma pressão de 12 kPa. Já no ponto 2, a 2 m do chão, o fluido se move com velocidade de 10 m/s e sofre uma pressão \(p_2\). Com base nessas informações, calcule a pressão \(p_2\).
Considere: \(\rho_{\text{fluido}} = 750 \, \text{kg/m}^3 \) e \(g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \).
Resolução:
Calcularemos a pressão no ponto 2 desse fluido por meio da equação de Bernoulli:
\(p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2 \)
\(12000 + \frac{750 \cdot 3^2}{2} + 750 \cdot 10 \cdot 8 = p_2 + \frac{750 \cdot 10^2}{2} + 750 \cdot 10 \cdot 2\)
\(12.000+3375+60.000=p_2+37.500+15.000\)
\(75.375 = p_2 + 52.500 \)
\(p_2 = 75.375 - 52.500 \)
\(p_2=22.875 \ Pa \)
A pressão no ponto 2 é de \(22.875 \ Pa\).
Aplicações da equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é frequentemente empregada na física e na engenharia, sendo utilizada no desenvolvimento de vaporizadores; de tubos de pitot, usados nas aeronaves e na hidráulica; de tubos de venturi, para medir vazão, entre outros.
Exercícios resolvidos sobre equação de Bernoulli
Questão 1
A água sai de uma mangueira, posicionada a 1,5 m de altura, com velocidade de 5 m/s. Sabendo que, na parte que está posicionada ao chão, a velocidade era de 2 m/s, calcule a pressão nesse ponto.
Dados: \(\gamma_{\text{água}} \approx 10.000 \, \text{N/m}^3 \) e \(g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \).
A) \(10.000 \ Pa\)
B) \(12.200 \ Pa\)
C) \(15.700 \ Pa\)
D) \(21.300 \ Pa\)
E) \(25.500 \ Pa\)
Resolução:
Alternativa E
Calcularemos a pressão inicial desse fluido por meio da equação de Bernoulli:
\(\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 \)
Consideraremos o ponto 1 como sendo o ponto que antecede a saída da água e o ponto 2 como o ponto de saída da água. No ponto 1, a altura é nula, já que ela está posicionada ao chão, e no ponto 2, consideraremos a pressão nula, já que ela é a pressão atmosférica e não nos foi informada.
\(\frac{p_1}{10.000} + \frac{2^2}{2 \cdot 10} + 0 = \frac{0}{10.000} + \frac{5^2}{2 \cdot 10} + 1,5 \)
\(\frac{p_1}{10.000} + \frac{4}{20} = \frac{25}{20} + 1,5 \)
\(\frac{p_1}{10.000} + 0,2 = 2,75 \)
\(\frac{p_1}{10.000} = 2,75 - 0,2 \)
\(\frac{p_1}{10.000} = 2,55 \)
\(p_1 = 2,55 \cdot 10.000 \)
\(p_1 = 25.500 \ Pa \)
Questão 2
Um estudante decidiu calcular a velocidade da água no ponto 2 em uma tubulação, que, nesse ponto, está a 1 m de altura e tem uma pressão de 3000 Pa. Sabendo que, no ponto 1, a 3 m de altura, a velocidade da água era de 1 m/s e a pressão era de 10.000 Pa, calcule a velocidade aproximada da água no ponto 2.
Dados:\(ρ_{\text{água}} \approx 10.000 \, \text{N/m}^3 \) e.\(g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \)
A) \(3,2 \ m/s\)
B) \(7,4 \ m/s\)
C) \(10,6 \ m/s\)
D) \(15,8 \ m/s\)
E) \(18,1 \ m/s\)
Resolução:
Alternativa B
Calcularemos a velocidade do fluido no ponto 2 por meio da equação de Bernoulli:
\(p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2 \)
\(10.000 + \frac{1000 \cdot 1^2}{2} + 1000 \cdot 10 \cdot 3 = 3000 + \frac{1000 \cdot v_2^2}{2} + 1000 \cdot 10 \cdot 1 \)
\(10.000 + 500 + 30.000 = 3000 + 500 \cdot v_2^2 + 10.000 \)
\(40.500 = 500 \cdot v_2^2 + 13.000 \)
\(500 \cdot v_2^2 = 40.500 - 13.000 \)
\(500 \cdot v_2^2 = 27.500 \)
\(v_2^2 = \frac{27.500}{500} \)
\(v_2^2=55\)
\(v_2 = \sqrt{55} \)
\(v_2 = 7,4 \, \text{m/s} \)
Fontes
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica (vol. 2). 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor (vol. 2). 5. ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.
Ferramentas Brasil Escola
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