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Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é a representação matemática do princípio de Bernoulli, sendo aplicada apenas em fluidos ideais.
Avião voando no céu, uma alusão à equação de Bernoulli, considerada na construção aerodinâmica dos aviões.
Na construção aerodinâmica dos aviões, leva-se em consideração a equação de Bernoulli.

A equação de Bernoulli é uma equação matemática que representa o princípio de Bernoulli e que é válida somente para fluidos ideais — incompressíveis, não viscosos, com escoamento ao longo de uma linha de corrente. Ela demonstra que, quando a velocidade do fluido decresce, a sua pressão cresce.

Leia também: Equação da continuidade — equação matemática que relaciona a área disponível para o escoamento de um fluido e a sua velocidade

Resumo sobre equação de Bernoulli

  • A equação de Bernoulli é a representação matemática do princípio de Bernoulli, sendo aplicada apenas em fluidos ideais.
  • O princípio de Bernoulli diz que, em fluidos ideais, à medida que a velocidade do fluido aumenta, a sua pressão diminui e vice-versa.
  • Um fluido ideal é não viscoso, tem escoamento permanente e ocorre ao longo de uma linha de corrente.
  • A equação de Bernoulli aborda a relação da pressão e velocidade em diferentes pontos de um fluido.
  • É usada na fabricação de vaporizadores, tubos de pitot e tubos de venturi.

O que é a equação de Bernoulli?

A equação de Bernoulli é a equação matemática que representa o princípio de Bernoulli. Ela se origina da lei da conservação da energia mecânica aplicada ao escoamento dos fluidos ideais.

Princípio de Bernoulli

O princípio de Bernoulli é o princípio representado pela equação de Bernoulli. Esse princípio diz que, em fluidos ideais, à medida que a velocidade do fluido aumenta, a sua pressão diminui e vice-versa. Para que um fluido seja ideal, ele precisa:

  • Ser invíscido: sem a atuação de forças viscosas sobre ele.
  • Ter escoamento permanente (incompressível): suas características, como massa específica e volume, não se alteram com o tempo.
  • Ocorrer ao longo de uma linha de corrente (linha de trajetória de uma molécula do fluido).
Representação do princípio de Bernoulli, um princípio representado pela equação de Bernoulli.
Representação do princípio de Bernoulli.

Veja também: Princípio de Pascal — princípio que afirma que a pressão em um ponto do fluido é propagada igualmente por todos os seus pontos

Fórmulas da equação de Bernoulli

\(p_1 + \frac{\rho \ \cdot \ v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \ \cdot \ v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2 \)

\(p_1\) → pressão do fluido no ponto 1, medida em Pascal [\(Pa\)].

\(p_2\) → pressão do fluido no ponto 2, medida em Pascal [\(Pa\)].

\(v_1\) → velocidade do fluido no ponto 1, medida em metros por segundo [\(m/s\)].

\(v_2\) → velocidade do fluido no ponto 2, medida em metros por segundo [\(m/s\)].

\(z_1\) → altura do fluido no ponto 1, medida em metros [\(m\)].

\(z_2\) → altura do fluido no ponto 2, medida em metros [\(m\)].

\(p \) → massa específica, medida em [\(kg/m^3\)].

\(g\) → aceleração da gravidade, mede aproximadamente \(9,8 \ m/s^2\).

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Também pode ser escrita como:

\(\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 \)

  • \(p_1\) → pressão do fluido no ponto 1, medida em Pascal [\(Pa\)].

  • \(p_2\) → pressão do fluido no ponto 2, medida em Pascal [\(Pa\)].

  • \(v_1\) → velocidade do fluido no ponto 1, medida em metros por segundo [\(m/s\)].

  • \(v_2\) → velocidade do fluido no ponto 2, medida em metros por segundo [\(m/s\)].

  • \(z_1\) → altura do fluido no ponto 1, medida em metros [\(m\)].

  • \(z_2\) → altura do fluido no ponto 2, medida em metros [\(m\)].

  • \(p \) → peso específico, medido em [\(kg/m^3\)].

  • \(g\) → aceleração da gravidade, mede aproximadamente \(9,8 \ m/s^2\).

Exemplo:

No ponto 1 de uma mangueira a 8 m do chão, o fluido se move com velocidade de 3 m/s e sofre uma pressão de 12 kPa. Já no ponto 2, a 2 m do chão, o fluido se move com velocidade de 10 m/s e sofre uma pressão \(p_2\). Com base nessas informações, calcule a pressão \(p_2\).

Considere: \(\rho_{\text{fluido}} = 750 \, \text{kg/m}^3 \) e \(g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \).

Resolução:

Calcularemos a pressão no ponto 2 desse fluido por meio da equação de Bernoulli:

\(p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2 \)

\(12000 + \frac{750 \cdot 3^2}{2} + 750 \cdot 10 \cdot 8 = p_2 + \frac{750 \cdot 10^2}{2} + 750 \cdot 10 \cdot 2\)

\(12.000+3375+60.000=p_2+37.500+15.000\)

\(75.375 = p_2 + 52.500 \)

\(p_2 = 75.375 - 52.500 \)

\(p_2=22.875 \ Pa \)

A pressão no ponto 2 é de \(22.875 \ Pa\).

Aplicações da equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é frequentemente empregada na física e na engenharia, sendo utilizada no desenvolvimento de vaporizadores; de tubos de pitot, usados nas aeronaves e na hidráulica; de tubos de venturi, para medir vazão, entre outros.

Exercícios resolvidos sobre equação de Bernoulli

Questão 1

A água sai de uma mangueira, posicionada a 1,5 m de altura, com velocidade de 5 m/s. Sabendo que, na parte que está posicionada ao chão, a velocidade era de 2 m/s, calcule a pressão nesse ponto.

Dados: \(\gamma_{\text{água}} \approx 10.000 \, \text{N/m}^3 \) e \(g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \).

A) \(10.000 \ Pa\)

B) \(12.200 \ Pa\)

C) \(15.700 \ Pa\)

D) \(21.300 \ Pa\)

E) \(25.500 \ Pa\)

Resolução:

Alternativa E

Calcularemos a pressão inicial desse fluido por meio da equação de Bernoulli:

\(\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 \)

Consideraremos o ponto 1 como sendo o ponto que antecede a saída da água e o ponto 2 como o ponto de saída da água. No ponto 1, a altura é nula, já que ela está posicionada ao chão, e no ponto 2, consideraremos a pressão nula, já que ela é a pressão atmosférica e não nos foi informada.

\(\frac{p_1}{10.000} + \frac{2^2}{2 \cdot 10} + 0 = \frac{0}{10.000} + \frac{5^2}{2 \cdot 10} + 1,5 \)

\(\frac{p_1}{10.000} + \frac{4}{20} = \frac{25}{20} + 1,5 \)

\(\frac{p_1}{10.000} + 0,2 = 2,75 \)

\(\frac{p_1}{10.000} = 2,75 - 0,2 \)

\(\frac{p_1}{10.000} = 2,55 \)

\(p_1 = 2,55 \cdot 10.000 \)

\(p_1 = 25.500 \ Pa \)

Questão 2

Um estudante decidiu calcular a velocidade da água no ponto 2 em uma tubulação, que, nesse ponto, está a 1 m de altura e tem uma pressão de 3000 Pa. Sabendo que, no ponto 1, a 3 m de altura, a velocidade da água era de 1 m/s e a pressão era de 10.000 Pa, calcule a velocidade aproximada da água no ponto 2.

Dados:\(ρ_{\text{água}} \approx 10.000 \, \text{N/m}^3 \) e.\(g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \)

A) \(3,2 \ m/s\)

B) \(7,4 \ m/s\)

C) \(10,6 \ m/s\)

D) \(15,8 \ m/s\)

E) \(18,1 \ m/s\)

Resolução:

Alternativa B

Calcularemos a velocidade do fluido no ponto 2 por meio da equação de Bernoulli:

\(p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2 \)

\(10.000 + \frac{1000 \cdot 1^2}{2} + 1000 \cdot 10 \cdot 3 = 3000 + \frac{1000 \cdot v_2^2}{2} + 1000 \cdot 10 \cdot 1 \)

\(10.000 + 500 + 30.000 = 3000 + 500 \cdot v_2^2 + 10.000 \)

\(40.500 = 500 \cdot v_2^2 + 13.000 \)

\(500 \cdot v_2^2 = 40.500 - 13.000 \)

\(500 \cdot v_2^2 = 27.500 \)

\(v_2^2 = \frac{27.500}{500} \)

\(v_2^2=55\)

\(v_2 = \sqrt{55} \)

\(v_2 = 7,4 \, \text{m/s} \)

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica (vol. 2). 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor (vol. 2). 5. ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.

Publicado por Pâmella Raphaella Melo

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