Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é uma equação matemática que representa o princípio de Bernoulli e que é válida somente para fluidos ideais — incompressíveis, não viscosos, com escoamento ao longo de uma linha de corrente. Ela demonstra que, quando a velocidade do fluido decresce, a sua pressão cresce.

Leia também: Equação da continuidade — equação matemática que relaciona a área disponível para o escoamento de um fluido e a sua velocidade

Resumo sobre equação de Bernoulli

• A equação de Bernoulli é a representação matemática do princípio de Bernoulli, sendo aplicada apenas em fluidos ideais.
• O princípio de Bernoulli diz que, em fluidos ideais, à medida que a velocidade do fluido aumenta, a sua pressão diminui e vice-versa.
• Um fluido ideal é não viscoso, tem escoamento permanente e ocorre ao longo de uma linha de corrente.
• A equação de Bernoulli aborda a relação da pressão e velocidade em diferentes pontos de um fluido.
• É usada na fabricação de vaporizadores, tubos de pitot e tubos de venturi.

O que é a equação de Bernoulli?

A equação de Bernoulli é a equação matemática que representa o princípio de Bernoulli. Ela se origina da lei da conservação da energia mecânica aplicada ao escoamento dos fluidos ideais.

Princípio de Bernoulli

O princípio de Bernoulli é o princípio representado pela equação de Bernoulli. Esse princípio diz que, em fluidos ideais, à medida que a velocidade do fluido aumenta, a sua pressão diminui e vice-versa. Para que um fluido seja ideal, ele precisa:

• Ser invíscido: sem a atuação de forças viscosas sobre ele.
• Ter escoamento permanente (incompressível): suas características, como massa específica e volume, não se alteram com o tempo.
• Ocorrer ao longo de uma linha de corrente (linha de trajetória de uma molécula do fluido).

Veja também: Princípio de Pascal — princípio que afirma que a pressão em um ponto do fluido é propagada igualmente por todos os seus pontos

Fórmulas da equação de Bernoulli

$p_1 + \frac{\rho \ \cdot \ v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \ \cdot \ v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2$

$p_1$ → pressão do fluido no ponto 1, medida em Pascal [$Pa$].

$p_2$ → pressão do fluido no ponto 2, medida em Pascal [$Pa$].

$v_1$ → velocidade do fluido no ponto 1, medida em metros por segundo [$m/s$].

$v_2$ → velocidade do fluido no ponto 2, medida em metros por segundo [$m/s$].

$z_1$ → altura do fluido no ponto 1, medida em metros [$m$].

$z_2$ → altura do fluido no ponto 2, medida em metros [$m$].

$p$ → massa específica, medida em [$kg/m^3$].

$g$ → aceleração da gravidade, mede aproximadamente $9,8 \ m/s^2$.

Também pode ser escrita como:

$\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2$

• $p_1$ → pressão do fluido no ponto 1, medida em Pascal [$Pa$].

• $p_2$ → pressão do fluido no ponto 2, medida em Pascal [$Pa$].

• $v_1$ → velocidade do fluido no ponto 1, medida em metros por segundo [$m/s$].

• $v_2$ → velocidade do fluido no ponto 2, medida em metros por segundo [$m/s$].

• $z_1$ → altura do fluido no ponto 1, medida em metros [$m$].

• $z_2$ → altura do fluido no ponto 2, medida em metros [$m$].

• $p$ → peso específico, medido em [$kg/m^3$].

• $g$ → aceleração da gravidade, mede aproximadamente $9,8 \ m/s^2$.

Exemplo:

No ponto 1 de uma mangueira a 8 m do chão, o fluido se move com velocidade de 3 m/s e sofre uma pressão de 12 kPa. Já no ponto 2, a 2 m do chão, o fluido se move com velocidade de 10 m/s e sofre uma pressão $p_2$. Com base nessas informações, calcule a pressão $p_2$.

Considere: $\rho_{\text{fluido}} = 750 \, \text{kg/m}^3$ e $g \approx 10 \, \text{m/s}^2$.

Resolução:

Calcularemos a pressão no ponto 2 desse fluido por meio da equação de Bernoulli:

$p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2$

$12000 + \frac{750 \cdot 3^2}{2} + 750 \cdot 10 \cdot 8 = p_2 + \frac{750 \cdot 10^2}{2} + 750 \cdot 10 \cdot 2$

$12.000+3375+60.000=p_2+37.500+15.000$

$75.375 = p_2 + 52.500$

$p_2 = 75.375 - 52.500$

$p_2=22.875 \ Pa$

A pressão no ponto 2 é de $22.875 \ Pa$.

Aplicações da equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é frequentemente empregada na física e na engenharia, sendo utilizada no desenvolvimento de vaporizadores; de tubos de pitot, usados nas aeronaves e na hidráulica; de tubos de venturi, para medir vazão, entre outros.

Exercícios resolvidos sobre equação de Bernoulli

Questão 1

A água sai de uma mangueira, posicionada a 1,5 m de altura, com velocidade de 5 m/s. Sabendo que, na parte que está posicionada ao chão, a velocidade era de 2 m/s, calcule a pressão nesse ponto.

Dados: $\gamma_{\text{água}} \approx 10.000 \, \text{N/m}^3$ e $g \approx 10 \, \text{m/s}^2$.

A) $10.000 \ Pa$

B) $12.200 \ Pa$

C) $15.700 \ Pa$

D) $21.300 \ Pa$

E) $25.500 \ Pa$

Resolução:

Alternativa E

Calcularemos a pressão inicial desse fluido por meio da equação de Bernoulli:

$\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2$

Consideraremos o ponto 1 como sendo o ponto que antecede a saída da água e o ponto 2 como o ponto de saída da água. No ponto 1, a altura é nula, já que ela está posicionada ao chão, e no ponto 2, consideraremos a pressão nula, já que ela é a pressão atmosférica e não nos foi informada.

$\frac{p_1}{10.000} + \frac{2^2}{2 \cdot 10} + 0 = \frac{0}{10.000} + \frac{5^2}{2 \cdot 10} + 1,5$

$\frac{p_1}{10.000} + \frac{4}{20} = \frac{25}{20} + 1,5$

$\frac{p_1}{10.000} + 0,2 = 2,75$

$\frac{p_1}{10.000} = 2,75 - 0,2$

$\frac{p_1}{10.000} = 2,55$

$p_1 = 2,55 \cdot 10.000$

$p_1 = 25.500 \ Pa$

Questão 2

Um estudante decidiu calcular a velocidade da água no ponto 2 em uma tubulação, que, nesse ponto, está a 1 m de altura e tem uma pressão de 3000 Pa. Sabendo que, no ponto 1, a 3 m de altura, a velocidade da água era de 1 m/s e a pressão era de 10.000 Pa, calcule a velocidade aproximada da água no ponto 2.

Dados:$ρ_{\text{água}} \approx 10.000 \, \text{N/m}^3$ e.$g \approx 10 \, \text{m/s}^2$

A) $3,2 \ m/s$

B) $7,4 \ m/s$

C) $10,6 \ m/s$

D) $15,8 \ m/s$

E) $18,1 \ m/s$

Resolução:

Alternativa B

Calcularemos a velocidade do fluido no ponto 2 por meio da equação de Bernoulli:

$p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_1 = p_2 + \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} + \rho \cdot g \cdot z_2$

$10.000 + \frac{1000 \cdot 1^2}{2} + 1000 \cdot 10 \cdot 3 = 3000 + \frac{1000 \cdot v_2^2}{2} + 1000 \cdot 10 \cdot 1$

$10.000 + 500 + 30.000 = 3000 + 500 \cdot v_2^2 + 10.000$

$40.500 = 500 \cdot v_2^2 + 13.000$

$500 \cdot v_2^2 = 40.500 - 13.000$

$500 \cdot v_2^2 = 27.500$

$v_2^2 = \frac{27.500}{500}$

$v_2^2=55$

$v_2 = \sqrt{55}$

$v_2 = 7,4 \, \text{m/s}$

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica (vol. 2). 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor (vol. 2). 5. ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.