Condições de uma Inequação do 2º grau

Inequação do 2º grau na variável x é uma expressão matemática de desigualdade escrita nas seguintes formas redutíveis:

ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0

onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0.

A obtenção do conjunto solução das inequações deve ser determinado de acordo com o sinal de cada função. A seguir determinaremos o estudo do sinal de algumas funções.

Exemplo 1
x² – 6x + 8 < 0
∆ = 4 (duas raízes distintas)

x’ = 2
x” = 4

Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 8, que possui a > 0. Observe o gráfico:

y < 0 → 2 < x < 4
y = 0 → x = 2 ou x = 4
y > 0 → x < 2 ou x > 4

De acordo com o sinal de desigualdade da inequação, o conjunto solução é: S = {x Є R / 2 < x < 4}.


Exemplo 2
x² – 6x + 9 > 0
∆ = 0 (uma única raiz real)

x’ = x” = 3

Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 9, com a > 0. Veja o gráfico:

y > 0 → x ≠ 3
y < 0 → não existem valores
y = 0 → x = 3

Portanto, o conjunto solução da inequação é: S = R – {3}


Exemplo 3
–3x² – 2x – 1 ≥ 0
∆ = – 8 (não possui raízes reais)





Nesse caso, a parábola não intercepta o eixo x, portanto não possui raízes reais. Dessa forma concluímos que o conjunto solução é: S = Ø.


Exemplo 4
–x² –3x – 2 ≤ 0
∆ = 1 (duas raízes reais e distintas)

x’ = –1 ou x” = –2

Estudando o sinal da função y = –x² – 3x – 2, com a < 0. Observe o gráfico:

y ≥ 0 → –2 ≤ x ≤ –1
y = 0 → x = –2 ou x = –1
y ≤ 0 → x ≤ –2 ou x ≥ –1