Equação do 1° grau
Equação do 1° grau é uma equação matemática em que o maior expoente da incógnita (ou incógnitas, se houver mais de uma) é 1. No caso de uma equação do 1° grau com uma incógnita, o formato da expressão é ax+b=0, em que x é a incógnita (valor desconhecido) e a e b são os coeficientes. Por meio de manipulações algébricas, podemos determinar o(s) valor(es) da(s) incógnita(s) e resolver a equação. Neste texto vamos considerar soluções reais para as equações.
Leia também: Expressões algébricas — o que são e dicas para resolver
Resumo sobre equação do 1º grau
- O grau de uma equação é o maior expoente da(s) incógnita(s).
- Uma equação do 1° grau com uma incógnita tem o seguinte formato:
\(ax+b=0, a\neq0\)
- Uma equação do 1° grau com duas incógnitas tem o seguinte formato:
\(x+by+c=0, a\neq0 \ e\ b\neq0\)
- Para resolver uma equação, devemos determinar o valor de sua(s) incógnita(s).
O que é uma equação do 1° grau?
Uma equação é uma igualdade matemática com elementos conhecidos (coeficientes) e desconhecidos (incógnitas).
O grau de uma equação é o maior expoente da incógnita (ou incógnitas, se houver mais de uma). Assim, uma equação em que o maior expoente é 1 é conhecida como equação do 1° grau.
O formato geral de uma equação do 1° com uma incógnita é ax+b = 0, com a≠0. Note que o expoente da incógnita x é 1.
- Exemplos de equação do 1° grau com uma incógnita:
3x+4=0 (incógnita x)
-6x=12 (incógnita x)
9y-1=8 (incógnita y)
O formato geral de uma equação do 1° com duas incógnitas é ax+by+c=0, com a≠0 e b≠0. Note que o expoente da incógnita x é 1 e o da incógnita y também é 1.
- Exemplos de equação do 1° grau com duas incógnitas:
x+4y-6=0 (incógnitas x e y)
-5x+y=1 (incógnitas x e y)
y+z=7 (incógnitas y e z)
Resolver uma equação significa determinar o(s) valor(es) da(s) incógnita(s). Vejamos como realizar esse processo para equações do 1° grau com uma incógnita e com duas incógnitas.
Como resolver uma equação do 1° grau?
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Equação do 1° grau com uma incógnita
Para encontrar a solução de uma equação do 1° grau com uma incógnita, precisamos isolar essa incógnita. Isso significa realizar operações nos dois lados da equação, de modo a manter apenas a incógnita de um dos lados da igualdade.
Exemplo: Determine a solução da equação \(3x+4=0\).
Observe que não temos, a princípio, o valor de x , mas o valor de 3x+4, que é 0. Assim, precisamos realizar operações convenientes para isolar a incógnita x .
\(3x+4=0\)
Primeiro vamos subtrair 4 dos dois lados da equação.
\(3x+4-\mathbf{4}=0-\mathbf{4}\)
Observe que \(+4-4=0\), ou seja:
\(3x=-4\)
Agora, vamos dividir os dois lados por 3.
\(\frac{3x}{3}=\frac{-4}{3}\)
\(x=-\frac{4}{3}\)
Portanto, \(x=-\frac{4}{3}\) é a solução da equação.
Para conferir mais exemplos e dicas de resolução de equação do 1º grau com uma incógnita, clique aqui.
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Equação do 1° grau com duas incógnitas
Uma equação do 1° grau com duas incógnitas possui infinitas soluções. Para encontrar uma possível solução para esse tipo de equação, devemos atribuir um valor para uma das incógnitas e encontrar o valor correspondente para a outra, de modo que a igualdade se mantenha.
Exemplo: Determine duas soluções para a equação \(4x-y-1=0\).
Primeiro escolhemos um possível valor para uma das incógnitas. Considere, por exemplo, x=1. Assim:
\(4\cdot\left(1\right)-y-1=0\)
\(4-y-1=0\)
Adicionando y dos dois lados:
\(4-y-1+y=0+y\)
\(4-1-y+y=0+y\)
\(3=y\)
Dessa forma, x=1 e y=3 é uma solução da equação. Representamos essa solução por (1,3).
Para determinar outra solução, devemos escolher outro valor para uma das incógnitas. Desta vez, vamos considerar x= -7. Assim:
\(4\cdot\left(-7\right)-y-1=0\)
\(-28-y-1=0\)
Adicionando y dos dois lados:
\(-28-y-1+y=0+y\)
\(-28-1=y\)
\(y=-29\)
Dessa forma, x= -7 e y= -29 é uma outra solução da equação. Representamos essa solução por -7,-29.
Para conferir mais exemplos e dicas de resolução de equação do 1º grau com duas incógnitas, clique aqui.
Equação do 1° grau com frações
Considere uma equação do 1° grau em que a única incógnita aparece no denominador de uma fração. Você sabe como resolver esse tipo de equação?
Nesse caso, uma maneira de solucionar é encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores e multiplicar cada termo da equação por esse valor.
Exemplo: Determine a solução da equação \( \frac{2}{x}-\frac{3}{4}=\frac{5}{3}\).
Note que o MMC dos denominadores é 12x. Assim:
\(12x\cdot\frac{2}{x}-12x\cdot\frac{3}{4}=12x\cdot\frac{5}{3}\)
\(\frac{24x}{x}-\frac{36x}{4}=\frac{60x}{3}\)
Portanto:
\(24-9x=20x\)
\(24=29x\)
\(x=\frac{24}{29}\)
Leia também: Como resolver equações do 2º grau
Exercícios sobre equação do 1° grau
Questão 1
(UTFPR) Viviane comprou 5 camisetas de mesmo preço por R$ 125,30. Qual o preço de cada camiseta?
a) 22,60
b) 21,06
c) 25,60
d) 25,06
e) 23,60
Resolução
Seja x o preço de cada camiseta. Assim:
\(5x=125,30\)
\(x=\frac{125,30}{5}=25,06\)
Alternativa D
Questão 2
(UTFPR) A soma de três números consecutivos é igual a 36. O dobro do menor número somado com o quadrado do maior número é:
a) 181
b) 191
c) 221
d) 321
e) 421
Resolução
Seja x o menor dos três números consecutivos. Assim, o próximo número é x+1 e o seguinte é x+2. Portanto:
\(x+\left(x+1\right)+\left(x+2\right)=36\)
\(3x+3=36\)
\(x=\frac{33}{3}=11\)
O menor número é 11 e o maior é 13, logo:
\(2\cdot11+{13}^2=22+169=191\)
Alternativa B
Fontes:
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
JÚNIOR, J.R.G.; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática: 8° ano. 4 ed. São Paulo: FTD, 2018.
LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
