Equação do 1° grau

Equação do 1° grau é uma equação matemática em que o maior expoente da incógnita (ou incógnitas, se houver mais de uma) é 1. No caso de uma equação do 1° grau com uma incógnita, o formato da expressão é ax+b=0, em que x é a incógnita (valor desconhecido) e a e b são os coeficientes. Por meio de manipulações algébricas, podemos determinar o(s) valor(es) da(s) incógnita(s) e resolver a equação. Neste texto vamos considerar soluções reais para as equações.

Leia também: Expressões algébricas — o que são e dicas para resolver

Resumo sobre equação do 1º grau

• O grau de uma equação é o maior expoente da(s) incógnita(s).
• Uma equação do 1° grau com uma incógnita tem o seguinte formato:

\(ax+b=0, a\neq0\)

• Uma equação do 1° grau com duas incógnitas tem o seguinte formato:

\(x+by+c=0, a\neq0 \ e\ b\neq0\)

• Para resolver uma equação, devemos determinar o valor de sua(s) incógnita(s).

O que é uma equação do 1° grau?

Uma equação é uma igualdade matemática com elementos conhecidos (coeficientes) e desconhecidos (incógnitas).

O grau de uma equação é o maior expoente da incógnita (ou incógnitas, se houver mais de uma). Assim, uma equação em que o maior expoente é 1 é conhecida como equação do 1° grau.

O formato geral de uma equação do 1° com uma incógnita é ax+b = 0, com a≠0. Note que o expoente da incógnita x é 1.

• Exemplos de equação do 1° grau com uma incógnita:

3x+4=0  (incógnita x)

-6x=12  (incógnita x)

9y-1=8  (incógnita y)

O formato geral de uma equação do 1° com duas incógnitas é ax+by+c=0, com a≠0 e b≠0. Note que o expoente da incógnita x é 1 e o da incógnita y também é 1.

• Exemplos de equação do 1° grau com duas incógnitas:

x+4y-6=0 (incógnitas x e y)

-5x+y=1 (incógnitas x e y)

y+z=7 (incógnitas y e z)

Resolver uma equação significa determinar o(s) valor(es) da(s) incógnita(s). Vejamos como realizar esse processo para equações do 1° grau com uma incógnita e com duas incógnitas.

Como resolver uma equação do 1° grau?

• Equação do 1° grau com uma incógnita

Para encontrar a solução de uma equação do 1° grau com uma incógnita, precisamos isolar essa incógnita. Isso significa realizar operações nos dois lados da equação, de modo a manter apenas a incógnita de um dos lados da igualdade.

Exemplo: Determine a solução da equação \(3x+4=0\).

Observe que não temos, a princípio, o valor de x , mas o valor de 3x+4, que é 0. Assim, precisamos realizar operações convenientes para isolar a incógnita x .

\(3x+4=0\)

Primeiro vamos subtrair 4 dos dois lados da equação.

\(3x+4-\mathbf{4}=0-\mathbf{4}\)

Observe que \(+4-4=0\), ou seja:

\(3x=-4\)

Agora, vamos dividir os dois lados por 3.

\(\frac{3x}{3}=\frac{-4}{3}\)

\(x=-\frac{4}{3}\)

Portanto, \(x=-\frac{4}{3}\) é a solução da equação.

Para conferir mais exemplos e dicas de resolução de equação do 1º grau com uma incógnita, clique aqui.

• Equação do 1° grau com duas incógnitas

Uma equação do 1° grau com duas incógnitas possui infinitas soluções. Para encontrar uma possível solução para esse tipo de equação, devemos atribuir um valor para uma das incógnitas e encontrar o valor correspondente para a outra, de modo que a igualdade se mantenha.

Exemplo: Determine duas soluções para a equação \(4x-y-1=0\).

Primeiro escolhemos um possível valor para uma das incógnitas. Considere, por exemplo, x=1. Assim:

\(4\cdot\left(1\right)-y-1=0\)

\(4-y-1=0\)

Adicionando y dos dois lados:

\(4-y-1+y=0+y\)

\(4-1-y+y=0+y\)

\(3=y\)

Dessa forma, x=1 e y=3 é uma solução da equação. Representamos essa solução por (1,3).

Para determinar outra solução, devemos escolher outro valor para uma das incógnitas. Desta vez, vamos considerar x= -7. Assim:

\(4\cdot\left(-7\right)-y-1=0\)

\(-28-y-1=0\)

Adicionando y dos dois lados:

\(-28-y-1+y=0+y\)

\(-28-1=y\)

\(y=-29\)

Dessa forma, x= -7  e y= -29 é uma outra solução da equação. Representamos essa solução por -7,-29.

Para conferir mais exemplos e dicas de resolução de equação do 1º grau com duas incógnitas, clique aqui.

Equação do 1° grau com frações

Considere uma equação do 1° grau em que a única incógnita aparece no denominador de uma fração. Você sabe como resolver esse tipo de equação?

Nesse caso, uma maneira de solucionar é encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores e multiplicar cada termo da equação por esse valor.

Exemplo: Determine a solução da equação \( \frac{2}{x}-\frac{3}{4}=\frac{5}{3}\).

Note que o MMC dos denominadores é 12x. Assim:

\(12x\cdot\frac{2}{x}-12x\cdot\frac{3}{4}=12x\cdot\frac{5}{3}\)

\(\frac{24x}{x}-\frac{36x}{4}=\frac{60x}{3}\)

Portanto:

\(24-9x=20x\)

\(24=29x\)

\(x=\frac{24}{29}\)

Leia também: Como resolver equações do 2º grau

Exercícios sobre equação do 1° grau

Questão 1

(UTFPR) Viviane comprou 5 camisetas de mesmo preço por R$ 125,30. Qual o preço de cada camiseta?

a) 22,60

b) 21,06

c) 25,60

d) 25,06

e) 23,60

Resolução

Seja x  o preço de cada camiseta. Assim:

\(5x=125,30\)

\(x=\frac{125,30}{5}=25,06\)

Alternativa D

Questão 2

(UTFPR) A soma de três números consecutivos é igual a 36. O dobro do menor número somado com o quadrado do maior número é:

a) 181

b) 191

c) 221

d) 321

e) 421

Resolução

Seja x  o menor dos três números consecutivos. Assim, o próximo número é x+1 e o seguinte é x+2. Portanto:

\(x+\left(x+1\right)+\left(x+2\right)=36\)

\(3x+3=36\)

\(x=\frac{33}{3}=11\)

O menor número é 11 e o maior é 13, logo:

\(2\cdot11+{13}^2=22+169=191\)

Alternativa B

Fontes:

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.

JÚNIOR, J.R.G.; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática: 8° ano. 4 ed. São Paulo: FTD, 2018.

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.