Equação do primeiro grau com uma incógnita

Uma equação é uma expressão que relaciona números desconhecidos e números conhecidos por meio de uma igualdade. Geralmente, os números desconhecidos são representados por letras e, na maioria dos casos, essa letra é x. Esses números desconhecidos são chamados de incógnitas.

Em outras palavras, uma equação é uma igualdade que contém, pelo menos, uma incógnita.

Dizemos que uma equação possui grau 1, ou é do primeiro grau, quando não existe produto entre incógnitas nelas. Além disso, dizemos que uma equação possui apenas uma incógnita quando os números desconhecidos que aparecem nela são representados apenas por uma letra distinta. Assim, uma equação é do primeiro grau com uma incógnita quando puder ser escrita na seguinte forma:

ax = b

Nesse caso, a e b são pertencentes aos reais, e a é diferente de zero.

São exemplos de equações do primeiro grau com uma incógnita:

a) 2x + 4 = 8

b) 4x + 8 = 16 – 2x

São exemplos de equações do primeiro grau com duas incógnitas:

a) 2x + 3y = 0

b) 4x = 2z

São exemplos de equações que não são do primeiro grau:

a) xy = 0

b) x² – 9 = 0

Solução e elementos de uma equação

A solução de uma equação é o valor numérico da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Por exemplo, a solução da equação 4x = 8 é 2 porque 4·2 = 8. Entretanto, nem sempre é fácil resolver uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Exemplo:

5x + 16 = 4x + 12

É possível demorar horas para encontrar o valor de x que torna essa igualdade verdadeira, por isso, é importante conhecer alguma técnica que possa ser usada para resolver equações de maneira prática.

Em uma equação, todos os elementos no lado esquerdo da igualdade compõem o seu primeiro membro. Os elementos do lado direito compõem o seu segundo membro. Além disso, cada uma das parcelas que estão sendo somadas ou subtraídas é chamada de termo.

Na equação do exemplo anterior, o primeiro membro é composto por:

5x + 16

E seu segundo membro é composto por:

4x + 12

Os termos dessa equação são:

5x, 16, 4x e 12

Solução de uma equação

Para solucionar uma equação, é preciso conhecer uma propriedade das igualdades:

O que for feito no primeiro membro
deve ser feito igualmente no segundo membro.

Se somarmos, por exemplo, 2 aos termos do primeiro membro, deveremos também somar 2 nos termos do segundo membro, para “equilibrar” a equação. Esse procedimento, além de não alterar o valor da incógnita, consiste em uma técnica para resolver a equação.

Para isso, é preciso ter em mente que o resultado de uma equação é algo parecido com x = k, em que k é um número real, ou seja, as incógnitas devem ficar no primeiro membro e os termos que não possuem incógnita devem ficar no segundo membro.

Tendo em vista essas duas diretrizes, observe a solução do exemplo de equação abaixo:

5x + 16 = 4x + 12

Note que o termo 16 está no primeiro membro da equação. Como queremos apenas termos que possuem incógnita nesse membro, subtrairemos 16 em ambos os membros:

5x + 16 – 16 = 4x + 12 – 16

5x = 4x – 4

Assim, 16 desapareceu do primeiro membro exatamente porque o subtraímos em ambos os membros. O mesmo procedimento pode ser realizado para que não haja termos com incógnitas no segundo membro. Para tanto, devemos subtrair 4x nos dois membros. Observe:

5x = 4x – 4

5x – 4x = 4x – 4 – 4x

x = – 4

Como encontramos dessa forma o valor numérico de x, não há mais o que fazer nessa equação.

Também é possível que outras operações sejam feitas para resolver equações. A mesma regra é válida para todas elas.

Exemplo:

Resolva a equação:

5x – 30 = 10x – 40
  2                   

Observe que, antes de qualquer coisa, é necessário multiplicar ambos os membros da equação por 2 para que o denominador do primeiro membro seja eliminado:

5x – 30 = 10x – 40
2                 

2·5x – 30 = (10x – 40)·2
2                   

Note que os parêntesis foram colocados para indicar que todo o segundo membro será multiplicado por 2, não apenas o último termo da equação. Assim, temos:

2·5x – 30 = (10x – 40)·2
2                   

5x – 30 = (10x – 40)·2

5x – 30 = 10x·2 – 40·2

5x – 30 = 20x – 80

Agora, basta fazer exatamente como foi feito no primeiro exemplo para resolver essa equação. Primeiro, somaremos 30 em ambos os termos para obter:

5x – 30 = 20x – 80

5x – 30 + 30 = 20x – 80 + 30

5x = 20x – 50

Agora, subtrairemos 20x em ambos os termos para obter:

5x = 20x – 50

5x – 20x = 20x – 50 – 20x

– 15x = – 50

Em seguida, dividiremos ambos os membros da equação por – 15 para obter:

– 15x = – 50

– 15x = – 50
– 15    – 15

x = – 50
      – 15

x = 50
     15

x = 10
     3

Existe outro método que pode ser usado para resolver equações. Ele pode ser encontrado no texto “Quatro passos para resolver equações do primeiro grau”.