Divisão de frações

A divisão de fração é uma das operações básicas envolvendo números fracionários. Para calcular a divisão entre frações, é importante relembrar como é feita a multiplicação de frações, pois para calcular a divisão entre frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.

Leia também: Operações básicas com frações

Como fazer a divisão entre frações

Primeiramente, precisamos relembrar que o número que está na parte de cima de uma fração é conhecido como numerador e o número que está na parte de baixo é conhecido como denominador.

\(\frac{a}b\)

• a : numerador da fração.

• b : denominador da fração.

Agora, precisamos considerar que toda fração possui uma fração inversa, que nada mais é que a inversão das posições do numerador e do denominador. Exemplos:

A fração \(\frac{4}5\) tem como fração inversa \(\frac{5}4\).

A fração \(\frac{1}3\) tem como fração inversa \(\frac{3}1\).

Além de entender o que é uma fração inversa, é importante relembrar como é feita a multiplicação de frações. Para isso, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador.

\(\frac{3}5⋅\frac{2}7=\frac{3⋅2}{5⋅7}=\frac{6}{35}\)

Sabemos que a divisão entre duas frações é igual à multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda. De modo geral, temos que:

\(\frac{a}b:\frac{c}d=\frac{a}b⋅\frac{d}c=\frac{a⋅d}{b⋅c}\)

Exemplo 1:

Calcule a divisão entre as frações:

\(\frac{2}3:\frac{7}5\)

Para calcular a divisão, faremos a multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda.

\(\frac{2}3:\frac{4}5=\frac{2}3⋅\frac{5}7\)

Agora, multiplicaremos as frações, ou seja, numerador com numerador e denominador com denominador:

\(\frac{2}3:\frac{4}5=\frac{2}3⋅\frac{5}7=\frac{10}{21}\)

Exemplo 2:

\(\frac{7}{10}:\frac{3}5=\frac{7}{10}⋅\frac{5}3=\frac{7⋅5}{10⋅3}=\frac{35}{30}\)

Divisão entre fração e um número inteiro

Para realizar a divisão de uma fração com um número inteiro, utilizamos o mesmo procedimento da divisão entre frações. Se o número inteiro for o divisor, escrevemos o seu inverso como 1 sobre esse número e multiplicamos normalmente. Quando o número inteiro é o dividendo, o consideramos uma fração de denominador 1, invertemos a segunda fração e multiplicamos normalmente. Veja os exemplos a seguir:

Exemplos:

\(6:\frac{5}{2}=6⋅\frac{2}{5}=\frac{6⋅2}5=\frac{12}5\)

\(\frac{1}2:3=\frac{1}2⋅\frac{1}3=\frac{1⋅1}{2⋅3}=\frac{1}6\)

Representação da divisão de frações

A divisão de frações também pode ser representada como uma fração de frações. Exemplo:

\(\frac{7}{5}\over\frac{5}{4} \)

Quando há uma fração com frações, representamos de um jeito diferente a divisão entre duas frações. Assim, calculamos a divisão entre as frações da mesma forma que fizemos anteriormente:

\({\frac{7}{5}\over\frac{5}{4}}=\frac{7}5⋅\frac{4}5=\frac{28}{25}\)

Videoaula sobre operações entre frações

Exercícios resolvidos sobre divisão de fração

Questão 1

Seja a = \(\frac{1}{3}\) e b = \(\frac{3}{2}\),  o valor da expressão 2(a:b) é:

A) \(\frac{2}{3}\)

B) \(\frac{3}{2}\)

C) \(\frac{4}{9}\)

D) \(\frac{4}{3}\)

E) \(\frac{2}{6}\)

Resolução:

Alternativa C

Substituindo a e b pelos valores dados, primeiramente calcularemos a divisão:

\(2⋅\bigg(\frac{1}{3}:\frac{3}2\bigg)\)

\(2⋅\bigg(\frac{1}{3}:\frac{2}3\bigg)\)

\(2⋅\frac{1}{3}:\frac{2}3\)

\(2⋅\frac{2}{9}\)

\(\frac{4}{9}\)

Questão 2

Sobre a divisão de frações, julgue as proposições a seguir:

I) \(\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=\frac{3}{5}:\frac{1}2\)

II) \(\frac{1}{3}:\frac{1}2={\frac{1}{3}\over\frac{1}{2}}\)

Marque a alternativa correta:

A) Somente I é verdadeira.

B) Somente II é verdadeira.

C) I e II são verdadeiras.

D) I e II são falsas.

Resolução:

Alternativa B

I – Falsa

Podemos observar que a divisão de fração não é comutativa, logo a ordem dos seus termos altera o seu resultado.

\(\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=\frac{3}{5}:\frac{1}2\)

Calculando do lado esquerdo, temos que:

\(\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=\frac{1}{2}⋅\frac{5}{3}=\frac{5}6\)

Calculando do lado direito, temos que:

\(\frac{3}{5}:\frac{1}2=\frac{3}5⋅\frac{2}1=\frac{6}5\)

Note que os resultados são diferentes.

II - Verdadeira

Sabemos que a divisão entre fações pode ser representada como uma fração, logo a afirmativa II é verdadeira.