Divisão

A divisão é uma operação matemática em que repartimos um número ou corpo em partes iguais. Ela é composta pelos termos dividendo (que queremos dividir), divisor (por quanto queremos dividir), resto (o que sobrou da divisão) e quociente (o que resultou da divisão).

Leia também: Tudo sobre as operações matemáticas básicas

Resumo sobre a divisão

• Os termos da divisão são dividendo, divisor, resto e quociente.
• Dependendo do divisor e do dividendo, temos formas diferentes de calcular a divisão.

• Na divisão de frações, conservamos o primeiro termo e invertemos o segundo termo.
• A divisão não é comutativa nem associativa.
• Não é possível dividir nenhum número por zero.
• Zero dividido por qualquer número é zero.

Videoaula sobre divisão

Termos da divisão

Os termos, ou partes, da divisão são:

• Dividendo (N): é o número que queremos dividir.
• Divisor (D): é o número por quanto queremos dividir.
• Resto (R): é o número que representa o que sobrou da divisão.
• Quociente (Q): é o número que resultou a divisão.

De acordo com o Teorema do Resto, o quociente vezes o divisor (diferente de zero) mais o resto é igual ao dividendo, conforme a expressão abaixo:

\((Q\cdot D)+R=N \)

Como calcular divisão?

A forma de calcular a divisão depende dos valores numéricos do dividendo e do divisor.

• Divisão de números inteiros com dividendo maior que divisor

Na divisão de números inteiros em que o dividendo é maior que divisor, nós “descemos” o número que é maior que o dividendo. Depois fazemos a divisão, de maneira que o quociente vezes o divisor seja igual ou próximo do valor do dividendo. Para finalizar, diminuímos o dividendo com o resultado da multiplicação mencionada; se tiver resto zero, acabou a divisão, mas se tiver resto diferente de zero, continuamos a divisão.

Exemplo 1: Divida o número 20 pelo número 4.

Recomenda-se fazer a divisão número por número do dividendo. Como nesse caso 2 é menor que 4, usaremos o dividendo todo, que é 20, para realizar a divisão.

Dividindo 20 por 4, temos 5, já que 5 x 4 é 20. Por fim, subtraímos 20 (do dividendo) por 20 (de 5 x 4), dando resto zero.

• Divisão de números inteiros com dividendo menor que divisor

Na divisão de números inteiros em que o dividendo é menor que o divisor, multiplicaremos o dividendo por 10, 100, 1000 até que o dividendo seja maior que o divisor.

Caso multipliquemos por 10, no quociente adicionaremos “0,”; caso multipliquemos por 100, no quociente adicionaremos “0,0”; caso multipliquemos por 100, no quociente adicionaremos “0,00” e assim por diante. Dessa forma, o dividendo será maior que o divisor e podemos continuar a divisão normalmente.

Exemplo 2: Divida o número 2 pelo número 4.

Nesse caso, o dividendo 2 é menor que o divisor 4, então multiplicaremos 2 por 10, resultando em 20, e acrescentaremos um “0,” no quociente. Por fim, continuamos a divisão como no exemplo 1.

• Divisão com dividendo decimal maior que divisor decimal (ou maior que divisor sem ser decimal)

Na divisão com dividendo decimal maior que divisor decimal ou maior que divisor sem ser decimal, multiplicaremos o dividendo e o divisor por 10, 100, 1000, até que a vírgula “fique escondida atrás do último número” e continuaremos a divisão normalmente.

Exemplo 3: Divida o número 5,5 pelo número 0,5.

Nesse caso, o dividendo 5,5 é maior que o divisor 0,5, então multiplicaremos ambos por 10, resultando em 55 e 5, assim a vírgula fica “escondida” atrás dos 5. Por fim, continuamos a divisão como no exemplo 1.

• Divisão com dividendo decimal menor que divisor decimal (ou menor que divisor sem ser decimal)

Na divisão com dividendo decimal menor que divisor decimal ou menor que divisor sem ser decimal, multiplicaremos o dividendo por 10 (ou 100 e 1000) até que o dividendo seja maior que o divisor e adicionaremos “0,”(ou “0,0” e “0,00”) no quociente, para então continuar a divisão normalmente.

Exemplo 4: Divida o número 1,5 pelo número 2.

Nesse caso, o dividendo 1,5 é menor que o divisor 2, então multiplicaremos 1,5 por 10, resultando em 15 e acrescentaremos um “0,” no quociente. Por fim, continuamos a divisão como no exemplo 1.

• Divisão de números com sinais diferentes 

Na divisão de números com sinais diferentes, fazemos a divisão normalmente e analisamos o sinal. 

1. No caso de ambos os números apresentarem o sinal positivo: o resultado será positivo. Por exemplo: 30÷6=5 .
2. No caso de ambos os números apresentarem o sinal negativo: o resultado será positivo. Por exemplo: -30÷-6=5 .
3. Se um dos números tiver o sinal negativo: o resultado será negativo. Por exemplo: -30÷6=-5  ou 30÷-6=-5 .

• Divisão de frações

Na divisão de frações, é necessário conservar a primeira fração (ou termo), alterar o sinal de divisão pelo da multiplicação e inverter a segunda fração (ou termo), conforme o exemplo abaixo.

Exemplo:

\(\frac{1}{4} ÷ \frac{8}{2}\)

Para fazermos a divisão de frações, precisamos conservar o primeiro termo, trocar o sinal da divisão por multiplicação e inverter o segundo termo:

\(\frac{1}{4} ÷ \frac{8}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{8}\)

Depois, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador:

\(\frac{1}{4} ÷ \frac{8}{2} = \frac{1 \cdot 2}{4\cdot 8}\\ \frac{1}{4} ÷ \frac{8}{2} = \frac{2}{32}\)

Por fim, caso seja possível, realizamos a simplificação da fração, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número, nesse caso por 2:

\(\frac{1}{4} ÷ \frac{8}{2} = \frac{2÷ 2}{32÷ 2}\\ \frac{1}{4} ÷ \frac{8}{2} = \frac{1}{16}\)

Então, o resultado da divisão é 1/16.

Propriedades da divisão

• 1ª propriedade: A operação de divisão não é comutativa, o que significa que, se trocarmos o dividendo com o divisor, obteremos resultados diferentes. Por exemplo: 5 ÷ 2 = 2,5  é diferente de 2 ÷ 5 = 0,4.
• 2ª propriedade: A operação de divisão entre números naturais pode resultar em um número não natural decimal. Por exemplo: 1 ÷ 2 = 0,5.
• 3ª propriedade: Qualquer número dividido pelo número 1 resulta nele próprio. Por exemplo: 1000000 ÷ 1 = 1000000. Além disso, a divisão de um número por ele mesmo resulta em 1. Por exemplo: 5 ÷ 5 = 1.

• 4ª propriedade: Todo número dividido por 0 tem resultado indefinido. Por exemplo: 3 ÷ 0 = erro.

• 5ª propriedade: A operação de divisão não é associativa, o que significa que, se mudarmos a ordem da divisão, o resultado será diferente. Por exemplo: (10 ÷ 2) ÷ 4 = 1,25 é diferente de 10 ÷ 2 ÷ 4 = 20.

Leia também: Como fazer divisão com números decimais?

Exercícios resolvidos de divisão

1) Resolva a divisão:

\(\frac{500}{2,5}\)

a) 200

b) 500

c) 800

d) 1000

e) 1500

Resolução:

Alternativa A. Primeiramente descemos o dividendo 5 e dividimos por 2,5, resultando em 2. Subtraindo por 5 por 5, temos resto igual a zero. Como deu resto zero, o restante dos zeros adicionamos ao quociente, então o resultado é 200.

2) A partir de seus conhecimentos a respeito da divisão, realize a divisão de 0,5 / 2.

a) 0,02

b) 0,15

c) 0,25

d) 0,50

e) 0,75

Resolução:

Alternativa C. Primeiramente, multiplicaremos o dividendo 0,5 por 10, o que resulta em 5; no quociente, adicionaremos um zero e vírgula. Depois continuamos a divisão: ao fazer 5 dividido por 2, o número mais próximo é 2, resultando em 2 x 2 igual a 4; subtraindo 5 por 4, temos resto igual a 1. Descemos o 0 e ficamos com 10. 10 dividido por 2 é igual a 5; subtraindo 10 por 10, temos resto igual a zero.

Fontes:

PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática Paiva (vol. 1). 2 ed. São Paulo: Editora Moderna Plus, 2010.

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar – Volume 1: Conjuntos e funções 9ª edição. São Paulo: Atual Editora, 2019.