Fração geratriz

Fração geratriz é a representação fracionária de uma dízima periódica simples ou composta. Ela é utilizada para realizar, de forma mais simples, as operações entre dois números que possuem representação decimal igual a uma dízima periódica.

Para encontrá-la, podemos utilizar equação ou um método prático. Quando realizamos a divisão do numerador pelo denominador da fração geratriz, encontramos sempre a dízima periódica que essa fração gera.

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Dízimas periódicas

Para compreender o que é fração geratriz, é importante relembrar o que são as dízimas periódicas. É chamado de dízima periódica um número que, ao ser representado na sua forma decimal, possui a parte decimal infinita e com repetições.

Uma dízima periódica pode ser classificada como simples ou composta. Ela é simples quando tudo que está na sua parte decimal é periódico, ou seja, se repete. Quando há um algarismo na parte decimal que não faz parte do período, ou seja, que não se repete, então essa dízima é composta.

Exemplos:

• 1,777…. → dízima periódica simples

• 2,666… → dízima periódica simples

• 4,5222… → dízima periódica composta

• 10,2888… → dízima periódica composta

Entendendo o que são as dízimas periódicas, é possível compreender o que é a fração geratriz de uma dízima periódica.

O que é fração geratriz?

• Chamamos de fração geratriz a representação fracionária de uma dízima periódica simples ou composta. As dízimas periódicas são consideradas números racionais, pois é possível representá-las como uma fração. Essa representação fracionária é a fração geratriz.

Exemplos:

Perceba que, ao dividir o numerador pelo denominador para encontrar a representação decimal desses números, a parte decimal deles é infinita e periódica.

Leia também: O que são frações equivalentes?

Como calcular a fração geratriz

Vamos dividir em dois casos. O primeiro é quando a dízima periódica é simples, e o segundo é quando a dízima periódica é composta.

• Fração geratriz de uma dízima periódica simples

Começando com a dízima periódica simples, para encontrar a fração geratriz, podemos seguir alguns passos.

• 1º passo: igualar a dízima periódica a x.

• 2º passo: multiplicar os dois lados da igualdade por 10, se houver somente um algarismo no período; por 100, se houver dois algarismos no período; por 1000, se houver três algarismos no período, e assim sucessivamente.

• 3º passo: calcular a diferença entre a equação encontrada e a equação do 1º passo.

• 4º passo: encontrar o valor de x na equação.

Exemplo 1:

Encontre a fração geratriz da dízima 1,444…

1º passo: igualar a dízima periódica a x.

x = 1,444…

2º passo: encontrar a quantidade de algarismos na parte periódica.

Perceba que há apenas o número 4 se repetindo na parte periódica, logo há 1 elemento no período, então multiplicaremos os dois lados da equação por 10.

10x = 1,444… × 10

10x = 14,444 …

3º passo: calcular a diferença entre as equações do 1º passo e do 2º passo.

10 x – x = 14,444 … – 1,444…

9x = 13

4º passo: resolver a equação.

x = 13/9

Então, a fração geratriz da dízima é:

Exemplo 2:

Encontre a fração geratriz da dízima 4,121212…

1º passo: igualar a dízima periódica a x.

x = 4,121212…

2º passo: encontrar a quantidade de algarismos na parte periódica.

Perceba que 12 está se repetindo na parte periódica, logo há 2 elementos no período, então multiplicaremos os dois lados da equação por 100, então:

100x = 4,121212… × 100

100x = 412,121212 …

3º passo: calcular a diferença entre as equações do 1ª passo e do 2º passo.

100x – x = 412,1212 … – 4,121212…

99x = 408

4º passo: resolver a equação.

x = 408/99

A fração geratriz da dízima é:

• Fração geratriz de uma dízima periódica composta

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima composta, acrescentamos um novo passo na resolução. Inicialmente, transformamos a dízima periódica composta em uma dízima periódica simples, e os demais passos são análogos ao 1º caso.

Exemplo:

Encontre a fração geratriz da dízima 5,23333...

Note que essa dízima é composta, pois há, na sua parte decimal, um número que não se repete, conhecido como antiperíodo. No caso dessa dízima periódica, 2 é o antiperíodo.

Para transformar essa dízima periódica composta em uma dízima periódica simples, multiplicaremos por 10.

x = 5,2333…

10x = 5,2333… × 10

10x = 52,333…

Agora que há uma dízima periódica simples, aplicaremos os mesmos passos aplicados para as dízimas periódicas simples.

Como há apenas um número no período, multiplicaremos a dízima por 10.

100x = 52,333… × 10

100x = 523,333…

Agora calcularemos a diferença entre 100x e 10x:

100x – 10x = 523,333… – 52,333…

990x = 471

x = 471/ 990

Então, a fração geratriz da dízima é:

Leia também: Números irracionais – números que não podem ser representados por meio de fração

Método prático

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos utilizar também um método prático.

• Método prático para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples

Exemplo 1:

Encontre a fração geratriz da dízima 5,888…

1º passo: identificar a parte inteira e o período da dízima.

• Parte inteira: 5

• Período: 8

2º passo: encontrar o numerador da fração geratriz.

O numerador é o número formado pelos algarismos da parte inteira seguido dos algarismos do período menos a parte inteira.

58 – 5 = 53

3º passo: encontrar o denominador da fração geratriz.

Para encontrar o denominador, basta analisar a quantidade de números que há no período. Se houver um único algarismo, colocamos 9; se houver dois algarismos, o denominador será 99, ou seja, a cada número adicional no período, acrescentamos um 9.

No exemplo, há um único número no período, logo o denominador é 9.

Então, a fração geratriz da dízima é:

Exemplo 2:

Encontre a fração geratriz da dízima 10,242424…

• Parte inteira: 10

• Período: 24

1º passo: encontrar o numerador calculando a diferença entre o número formado pela parte inteira e o período e o número formado só pela parte inteira.

1024 – 10 = 1014

2º passo: encontrar o numerador.

Como há dois algarismos no período, o denominador da fração é 99.

Então, a fração geratriz é:

• Método prático para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica composta

A dízima periódica composta possui também o antiperíodo, logo a aplicação do método prático é um pouco diferente nesse caso.

Exemplo:

Encontre a fração geratriz da dízima 1,24333…

1º passo: identificar as partes da dízima periódica.

• Parte inteira→ 1

• Antiperíodo → 24

• Período →3

2º passo: encontrar o numerador.

Para calcular o numerador, vamos escrever o número formado pela parte inteira, o antiperíodo, e o período, ou seja, 1243 menos a parte inteira e o antiperíodo, ou seja, 124.

1243 – 124 = 1119

3º passo: encontrar o denominador.

Para encontrar o denominador, para cada algarismo no período, acrescentamos um 9 e, para cada algarismo que está no antiperíodo, acrescentamos um 0 ao final do denominador.

No exemplo, há um algarismo no período (acrescentaremos 9) e dois algarismos no antiperíodo (acrescentamos 00 após o 9), então o denominador é 900.

Logo, a fração geratriz dessa dízima é:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - A fração geratriz da dízima 15,0343434… é?

A) \( \frac{15034}{900}\)

B)  \( \frac{139}{990}\)

C) \( \frac{1384}{990}\)

D) \( \frac{14884}{990}\)

E) \( \frac{150}{900}\)

Resolução

Alternativa D.

Pelo método prático, essa dízima é composta, então vamos encontrar a parte inteira, o antiperíodo e o período:

• Parte inteira: 15
• Antiperíodo: 0
• Período: 34

O numerador é dado por 15034 – 150 = 14.884

O denominador possui 99 (2 algarismos do período) seguido de 0 (1 número no antiperíodo): 990.

Então, a fração geratriz é:

\(\frac{14884}{990}\)

Questão 2 - (PUC-RJ) A soma 1,3333... + 0,1666666... é igual a:

Resolução

Alternativa E.

Para realizar a soma, vamos encontrar a fração geratriz de cada uma das dízimas, começando pela primeira: 1,333…

Agora encontrando a fração geratriz da dízima 0,1666666…:

Basta, então, calcular a soma das frações: