Resto da divisão

Considere a seguinte situação:

Um grupo de 25 pessoas esperava no térreo de um prédio por um elevador com capacidade máxima para apenas oito pessoas. Ao dividir o número de pessoas desse grupo pela capacidade do elevador, encontraremos o número de viagens necessárias para que todos cheguem a seus destinos.

25 = 8 + 8 + 8 + 1

Observe que serão necessárias quatro viagens para levar todo o grupo: três viagens com oito pessoas e uma viagem com apenas uma pessoa no elevador. Podemos afirmar, portanto, que a divisão de 25 por oito é igual a três, e o seu resto é um, o que também pode ser representado da seguinte forma:

25 = 3·8 + 1

O que é resto da divisão?

Repare que, no exemplo acima, na primeira viagem, foram oito pessoas e sobraram dezessete. Na segunda, entraram outras oito pessoas e sobraram nove. Na terceira viagem, oito pessoas entraram no elevador e sobrou uma. Como essa divisão é por oito e não é possível dividir uma pessoa em oito partes, então, o resto dessa divisão é um. Sabemos disso porque a divisão chegou a uma impossibilidade, ou seja, não é mais possível efetuar qualquer cálculo sobre ela.

Dessa forma, o resto é conhecido como “um número que sobra em uma divisão”. Além de sobrar, não é mais possível realizar divisões com ele.

Propriedades do resto

• O resto (r) é menor que o divisor (d):

r < d

• O resto (r) é sempre maior ou igual a zero:

r ≥ 0

• As duas propriedades acima podem ser escritas de forma única:

0 ≤ r < d

• O resto pode não existir em divisões fora do conjunto dos números inteiros.

Essa última propriedade acontece porque existem dois tipos de divisão:

⇒ Divisão entre números inteiros

Nessas divisões, por alguma razão, não é possível fracionar uma unidade e utilizar números decimais para representá-las. No exemplo do elevador, o motivo para essa impossibilidade é que cada unidade representa uma pessoa, a qual não pode ser dividida em partes iguais.

⇒ Divisão entre números reais

Essas divisões são realizadas com objetos que podem ser fracionados, como comidas, tecidos, os próprios números reais etc.

Sendo assim, em divisões de números inteiros, caso haja resto, ele não poderá ser dividido.

Método prático para encontrar o resto

Para encontrar o resto, apenas realize a divisão. Conforme as propriedades citadas acima, haverá um momento em que não será mais possível dividir, pois o número restante será maior ou igual a zero e menor que o divisor.

Exemplos:

1 – Encontre o resto da divisão de 250 por três. Para resolver esse problema, basta utilizar o algoritmo da divisão:

250 | 3 
– 24    83   
10        
– 9         
1       

O número um é maior ou igual a zero e menor que três, que é o divisor. Assim, um é o resto. Observe que, para encontrar o resto, tivemos que fazer toda a divisão, ou seja, “descer” todos os números do dividendo até que não houvesse mais nenhum deles.

2 – Um grupo de sete amigos foi a uma pizzaria e resolveu dividir a conta igualmente, deixando para o último a ir embora o valor atribuído a cada um dos amigos, somado ao resto da divisão. Sabendo que o total gasto por eles foi de 230 reais, qual será o valor pago pelo último amigo a ir embora?

230 | 7
– 21    32  
20       
– 14          
6      

Cada amigo pagou 32 reais. O último a ir embora pagará 32 + 6, isto é, R$ 38,00.