Resto da divisão

O resto da divisão é um número maior ou igual a zero e menor que o divisor. Ele é o que sobra na aplicação do algoritmo em uma divisão de números inteiros.

Considere a seguinte situação:

Um grupo de 25 pessoas esperava no térreo de um prédio por um elevador com capacidade máxima para apenas oito pessoas. Ao dividir o número de pessoas desse grupo pela capacidade do elevador, encontraremos o número de viagens necessárias para que todos cheguem a seus destinos.

25 = 8 + 8 + 8 + 1

Observe que serão necessárias quatro viagens para levar todo o grupo: três viagens com oito pessoas e uma viagem com apenas uma pessoa no elevador. Podemos afirmar, portanto, que a divisão de 25 por oito é igual a três, e o seu resto é um, o que também pode ser representado da seguinte forma:

25 = 3·8 + 1

O que é resto da divisão?

Repare que, no exemplo acima, na primeira viagem, foram oito pessoas e sobraram dezessete. Na segunda, entraram outras oito pessoas e sobraram nove. Na terceira viagem, oito pessoas entraram no elevador e sobrou uma. Como essa divisão é por oito e não é possível dividir uma pessoa em oito partes, então, o resto dessa divisão é um. Sabemos disso porque a divisão chegou a uma impossibilidade, ou seja, não é mais possível efetuar qualquer cálculo sobre ela.

Dessa forma, o resto é conhecido como “um número que sobra em uma divisão”. Além de sobrar, não é mais possível realizar divisões com ele.

Propriedades do resto

  • O resto (r) é menor que o divisor (d):

r < d

  • O resto (r) é sempre maior ou igual a zero:

r ≥ 0

  • As duas propriedades acima podem ser escritas de forma única:

0 ≤ r < d

  • O resto pode não existir em divisões fora do conjunto dos números inteiros.

Essa última propriedade acontece porque existem dois tipos de divisão:

⇒ Divisão entre números inteiros

Nessas divisões, por alguma razão, não é possível fracionar uma unidade e utilizar números decimais para representá-las. No exemplo do elevador, o motivo para essa impossibilidade é que cada unidade representa uma pessoa, a qual não pode ser dividida em partes iguais.

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⇒ Divisão entre números reais

Essas divisões são realizadas com objetos que podem ser fracionados, como comidas, tecidos, os próprios números reais etc.

Sendo assim, em divisões de números inteiros, caso haja resto, ele não poderá ser dividido.

Método prático para encontrar o resto

Para encontrar o resto, apenas realize a divisão. Conforme as propriedades citadas acima, haverá um momento em que não será mais possível dividir, pois o número restante será maior ou igual a zero e menor que o divisor.

Exemplos:

1 – Encontre o resto da divisão de 250 por três. Para resolver esse problema, basta utilizar o algoritmo da divisão:

250 |
– 24    83   
10        
– 9         
1       

O número um é maior ou igual a zero e menor que três, que é o divisor. Assim, um é o resto. Observe que, para encontrar o resto, tivemos que fazer toda a divisão, ou seja, “descer” todos os números do dividendo até que não houvesse mais nenhum deles.

2 – Um grupo de sete amigos foi a uma pizzaria e resolveu dividir a conta igualmente, deixando para o último a ir embora o valor atribuído a cada um dos amigos, somado ao resto da divisão. Sabendo que o total gasto por eles foi de 230 reais, qual será o valor pago pelo último amigo a ir embora?

230 | 7
– 21    32  
20       
– 14          
6      

Cada amigo pagou 32 reais. O último a ir embora pagará 32 + 6, isto é, R$ 38,00.

Símbolo relacionado à divisão
Símbolo relacionado à divisão
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
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Lista de Exercícios

Questão 1

A respeito do resto deixado na divisão de números inteiros, assinale a alternativa correta:

a) O resto r de uma divisão sempre será menor que o quociente q dessa operação, ou seja, sempre será verdade que r < q.

b) O resto da divisão entre dois números inteiros iguais sempre será maior que zero.

c) O resto da divisão de x por y sempre será igual a zero quando y = xn, com n pertencente ao conjunto dos números naturais.

d) O resto de uma divisão sempre será menor que 5.

e) Quando o resto da divisão não for igual a zero, sempre será possível continuar o cálculo e, mesmo assim, obter resultados inteiros.

Questão 2

Luiz e seus quatro filhos herdaram uma fazenda de 65 hectares que, conforme o testamento, deveria ser dividida da seguinte maneira: as terras seriam divididas igualmente em hectares entre os filhos de Luiz, e ele ficaria com o resto dessa divisão. A respeito desse problema, assinale a alternativa correta:

a) Luiz não ficará com nenhum hectare, pois, contando com ele, são 5 herdeiros: 65 dividido por 5 é igual a 13 e essa divisão é exata.

b) Luiz herda 5 hectares, pois 60 dividido pelos quatro filhos tem 15 como resultado. Assim, Luiz fica com a sobra de 5 hectares.

c) O número de hectares que Luiz herdará é obrigatoriamente menor que 4 e maior ou igual a zero.

d) Como 65 não é divisível por 4, Luiz não herdará nenhum hectare.

e) Luiz poderá herdar um número maior que 4 hectares. Para isso, basta que o resto da divisão de 65 por 4 seja maior que 4.

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