Você está aqui
  1. Mundo Educação
  2. Matemática
  3. Geometria
  4. O que é plano?

O que é plano?

O que é plano? Trata-se de uma figura geométrica que não possui definição e, por isso, é chamada de primitiva. É compreendido como uma superfície plana que não faz curva.

Planos são figuras geométricas bidimensionais formadas pela reunião de infinitas retas, perpendiculares a uma reta dada, dispostas lado a lado. Essa figura é considerada na Geometria como um conceito primitivo. Isso acontece porque, na realidade, não existe definição para ponto, reta e plano. Temos apenas uma “ideia primitiva” de como essas figuras são e/ou do seu formato.

Os planos podem ser formados por retas, assim como as retas podem ser formadas por pontos. Uma reta é um conjunto de pontos que não faz curva. Um plano, por sua vez, é um conjunto de retas que não faz curva.

Os planos geralmente são definidos em um espaço tridimensional. É sobre eles que são construídas todas as formas geométricas planas e as propriedades que as envolvem. Além disso, como veremos a seguir, duas retas concorrentes são suficientes para definir um plano. Quando essas duas retas estão graduadas, o plano resultante é chamado de “Plano Cartesiano” e é usado para localização e para definir toda a Geometria Analítica plana.

Também existem as planificações. Nelas o contorno de um sólido geométrico tridimensional é “desdobrado” e colado sobre um plano, gerando uma figura conhecida como “planificação”.

Postulados

Os postulados, também conhecidos como axiomas, são fatos tomados como verdadeiros para dar origem a teoremas e propriedades que devem ser provados. O primeiro postulado envolvendo planos é o da existência:

Existe plano e tanto nele quanto fora dele existem infinitos pontos.

Esse postulado foi criado para assumir que planos existem, uma vez que não é possível provar sua existência. Além disso, também é preciso afirmar que existem pontos tanto dentro quanto fora do plano para relacioná-los.

O segundo postulado sobre planos é o da inclusão:

Se um plano contém dois pontos distintos de uma reta, ele contém toda essa reta.

Também não é possível demonstrar que as retas são realmente retas, pois elas são definidas apenas como conjuntos de pontos. Esse postulado afirma que um plano contém todos os pontos de uma reta se ele possui pelo menos dois pontos distintos dela.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Outros dois postulados indicam os resultados de traçar uma reta em um plano ou de traçar um plano no espaço. Esses dois postulados estão unidos em um só a seguir:

Uma reta divide um plano em duas partes nas quais ela está contida. Um plano divide o espaço em duas partes nas quais ele está contido.

Determinando planos

O último axioma, o postulado da determinação, possibilita a criação de um plano a partir de um número finito de pontos:

Três pontos não colineares determinam um plano.

Sendo assim, é possível construir planos de quatro maneiras distintas:

1 – Três pontos não colineares determinam um plano.

Isso acontece em virtude do axioma que acabamos de descrever.

2 – Um ponto e uma reta fora dele determinam um plano.

Se existe um ponto fora de uma reta, basta escolher dois pontos distintos pertencentes a ela para obter três pontos não colineares, que determinam um plano.

3 – Duas retas concorrentes determinam um plano.

Retas concorrentes são aquelas que possuem apenas um ponto de intersecção. Para encontrar três pontos não colineares, faça o seguinte: escolha o ponto de intersecção entre essas retas, um ponto qualquer na primeira e um ponto qualquer na segunda, exceto, é claro, o próprio ponto de intersecção. Com esses três, caímos no caso do postulado de determinação.

4 – Duas retas paralelas determinam um plano.

Para encontrar três pontos e cair no caso do axioma de determinação, basta tomar apenas um ponto na primeira reta e dois pontos distintos na segunda.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

A superfície da mesa representa parte de um plano
A superfície da mesa representa parte de um plano
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
Assista às nossas videoaulas
Assuntos relacionados
Sólidos geométricos espaciais sobre um plano
Noções primitivas de Geometria: ponto, reta, plano e espaço
Clique para saber mais sobre as noções primitivas de Geometria (reta, ponto, plano e espaço), além de conhecer suas propriedades.
Reta tangente, externa ou secante são as posições entre reta e circunferência
Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
Clique para aprender a posição relativa entre uma reta e uma circunferência e conheça também algumas de suas propriedades.
Exemplos de triângulos equiláteros formados por outros três triângulos congruentes obtusângulos
Triângulos
Clique para aprender o que são os triângulos e conheça quais os elementos dessa figura e as suas principais propriedades.
A quantidade de dimensões define e diferencia as figuras planas e espaciais
Diferenças entre figuras planas e espaciais
Clique para aprender as maiores diferenças entre figuras planas e espaciais, como a quantidade de dimensões que as define.
Sólidos geométricos mais comuns na Geometria
Planificação de sólidos geométricos
Clique para ver a planificação de alguns sólidos geométricos. Veja como construir essas planificações a partir do número e do tipo de superfícies que podem ser encontradas nessas figuras geométricas tridimensionais. Além disso, obtenha exemplos de como a planificação de cada tipo de sólido deve ser feita.
Intersecção de retas concorrentes
Equação da reta, equação geral da reta, intersecção da reta, como identificar a intersecção da reta, ponto, ponto de intersecção de duas retas, retas concorrentes.
Equação geral de retas perpendiculares
Calculando a equação de retas perpendiculares por meio da equação geral da reta e dos coeficientes angulares das retas perpendiculares.
Retas perpendiculares
coeficiente angular, Retas perpendiculares, coeficiente angular de retas perpendiculares, condição de existência de retas perpendiculares, tangente, ângulo de inclinação.
Posições relativas de duas retas
Retas, retas paralelas, retas concorrentes, o que são retas paralelas, o que são retas concorrentes, Posições relativas de duas retas, coeficiente angular de retas paralelas, coeficiente angular de retas concorrentes.
Perpendicularidade
Posições relativas, Posição relativa entre duas retas, Retas paralelas, Retas coincidentes, Reta paralela ao plano, Reta contida no plano, Retas e planos secantes ou concorrentes, Planos paralelos, Planos secantes, Planos coincidentes, perpendicularidade entre retas e planos.
Plano cartesiano
Conheça o que é o plano cartesiano e qual a sua função. Saiba também como montar e marcar pontos nele.
Produto Cartesiano
Obtendo os pares ordenados do produto entre conjuntos.
Segmento de reta que começa em A e vai até B
Retas
Confira as principais ideias que envolvem retas e algumas propriedades básicas dessa figura geométrica!
Planos paralelos e perpendiculares formando um cubo
Posição relativa entre planos
Aprenda as posições relativas entre dois planos no espaço e o resultado da interação entre eles: com pontos ou não na intersecção.