Poliedros

Poliedros são objetos geométricos tridimensionais que têm uma superfície inteiramente formada por polígonos. Esses polígonos representam as faces do poliedro, um dos principais elementos desse sólido, assim como suas arestas e vértices. Dependendo de suas características, os poliedros podem ser convexos ou não convexos, além de regulares ou não regulares; para os primeiros, a relação de Euler é sempre válida. E, em determinadas condições, alguns poliedros podem ser classificados como poliedros de Platão.

Leia também: Sólidos geométricos — sólidos quaisquer, poliedros e corpos redondos

Resumo sobre poliedros

• Poliedro é todo sólido geométrico cuja superfície é composta de polígonos.
• Seus principais elementos são as faces, as arestas e os vértices.
• Um poliedro pode ser convexo ou não convexo.
• Dependendo da medida de suas arestas, um poliedro pode ou não ser regular.
• Todo poliedro convexo segue a relação de Euler: V-A+F=2, em que V é o número de vértices do poliedro; A, de arestas; e F, de faces.
• Dependendo de alguns critérios, um poliedro é denominado poliedro de Platão.

Videoaula sobre poliedros

O que são poliedros?

Poliedros são sólidos geométricos limitados por superfícies fechadas formadas por polígonos. Esses polígonos que delimitam a superfície poliédrica são chamados de faces, e, dependendo da quantidade de faces que um poliedro tem, ele recebe uma nomenclatura em relação a essa quantia. O poliedro com menor número de faces é o tetraedro, sendo um sólido geométrico composto de quatro faces.

É importante destacar que nem todo sólido geométrico é um poliedro. Nesse caso, os corpos redondos são exemplos de não poliedros, uma vez que eles têm superfícies curvas que não são formadas por polígonos.

Elementos de um poliedro

Sabendo que poliedros são sólidos delimitados por faces poligonais, é possível destacar alguns elementos comuns a todos os poliedros, como é o caso das faces, arestas, vértices e diagonais.

Na imagem acima, observa-se os seguintes elementos:

• Faces: polígonos que compõem as superfícies do poliedro. São representadas pelos polígonos \(ADEH, ABCD, ABGH, BCFG, CDEF \ e\ EFGH\).
• Arestas: segmentos que representam a interseção de duas faces e correspondem aos lados dos polígonos que formam o poliedro. São representadas pelos segmentos \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA}, \overline{AH}, \overline{HE}, \overline{ED}, \overline{HG}, \overline{GB}, \overline{GF}, \overline{FC} \ e\ \overline{EF}\).
• Vértices: pontos comuns a três ou mais arestas. São representados pelos pontos \(A, B, C, D, E, F, G \ e\ H\).
• Diagonais: segmentos de reta cujas extremidades são dois vértices do poliedro que não se encontram sobre uma mesma face. Na imagem, uma das diagonais é representada pelo segmento \(\overline{AF}\).

Veja também: O que define um polígono?

Quais os tipos de poliedros?

De acordo com algumas particularidades dos poliedros, é possível classificá-los. Veja, a seguir, quais as principais classificações.

→ Poliedros convexos e não convexos

Para um poliedro ser considerado convexo, é necessário que todo plano que contenha uma de suas faces delimite as demais faces a um mesmo semiespaço. Caso exista, ao menos, uma face que não cumpra essa condição, o poliedro é dito não convexo.

Uma outra forma mais fácil de se determinar se um poliedro não é convexo, é analisando pontos que pertencem a faces distintas dele. Se existir dois pontos em faces distintas do poliedro, de modo que o segmento de reta que os une não esteja inteiramente contido dentro do poliedro, então ele é um poliedro não convexo.

→ Poliedros regulares e não regulares

Para que um poliedro seja regular, é necessário que todas as suas faces sejam polígonos regulares entre si. Desse modo, cada face deve ter o mesmo número de arestas que as demais faces, e cada uma dessas arestas deve ter a mesma medida das demais.

Assim, para um poliedro não ser regular, basta que uma de suas arestas tenha uma medida diferente das outras.

Relação de Euler

A relação de Euler sugere que, ao analisar o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo, ele sempre cumprirá a seguinte relação:

\(V-A+F=2 \)

Em que:

 V é o número de vértices do poliedro;

 A é o número de arestas;

 F é o número de faces.

Exemplo:

O cubo é um poliedro convexo. Verifique, com base em seus elementos, a relação de Euler.

Sabe-se que o cubo é um poliedro formado por oito vértices, 12 arestas e seis faces, logo:

\(V-A+F=8-12+6=2\)

Desse modo, é possível concluir que o cubo é um exemplo de poliedro convexo e que, portanto, ele segue a relação de Euler.

Observação: A recíproca da relação de Euler não é verdadeira, ou seja, existem poliedros que cumprem a relação de Euler, mas que não são convexos. Para saber mais sobre a relação de Euler, clique aqui.

Quais são os poliedros de Platão?

Os poliedros de Platão são poliedros que cumprem as seguintes condições:

• Todas as faces têm o mesmo número de arestas.
• Todos os vértices são formados pelo mesmo número de arestas.
• Vale a relação de Euler.

Com base nessas condições, conclui-se que existem apenas cinco classes de poliedros que são considerados de Platão, são eles:

• tetraedros;
• hexaedros;
• octaedros;
• dodecaedros;
• icosaedros.

Esses poliedros têm, respectivamente, quatro, seis, oito, 12 e 20 lados.

Observação: Todo poliedro regular é um poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é um poliedro regular.

Exemplo:

Considere o poliedro a seguir:

Ele é um hexaedro convexo que tem oito vértices, 12 arestas e seis faces. Além de cumprir a relação de Euler, note que todas as suas faces têm o mesmo número de arestas (cada face tem quatro arestas) e que cada um de seus vértices é formado pelo mesmo número de arestas (cada vértice é formado por três arestas).

Desse modo, ele cumpre as condições necessárias para ser considerado um poliedro de Platão, porém ele não é um poliedro regular.

Saiba mais: Qual é a diferença entre figuras planas e figuras espaciais?

Exercícios resolvidos sobre poliedros

Questão 1

Observe as seguintes afirmações:

1. Todo poliedro de Platão é regular.
2. Corpos redondos não são exemplos de poliedros.
3. Os únicos sólidos geométricos considerados poliedros são os tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros.

Qual(is) dessas afirmações é(são) correta(s)?

a) II

b) I e II

c) I e III

d) I, II e III

Resolução

Vejamos cada uma das afirmações:

1. Todo poliedro de Platão é regular.

Como visto, existem poliedros de Platão que não são regulares, portanto, essa afirmação é incorreta.

2. Corpos redondos não são exemplos de poliedros.

De fato, corpos redondos não têm sua superfície formada exclusivamente por polígonos. Assim, por definição, eles não são poliedros e, portanto, essa afirmação está correta.

3. Os únicos sólidos geométricos considerados poliedros são os tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros.

Considere uma pirâmide de base quadrada. Sua superfície é inteiramente composta de polígonos e ela é formada por cinco faces, uma quadrada, que serve como base, e quatro faces triangulares laterais. Assim, por definição, ela é um poliedro de cinco faces, portanto, essa afirmação é incorreta.

Resposta: letra a)

Questão 2

Considere um poliedro convexo composto de 10 faces e 20 arestas. Quantos vértices esse poliedro tem?

a) 8

b) 10

c) 12

d) 15

Resolução

Sabendo que o poliedro é convexo, então vale a relação de Euler. Portanto, tomando F=10 e A=20, tem-se:

\(V-A+F=2\)

\(V-20+10=2\)

\(V=2+20-10\)

\(V=12\)

Resposta: letra c)

Fontes

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica. 7. ed. São Paulo: Atual, 2013.

NETO, A. A. et al. Noções de Matemática Volume 5: Geometria Plana e Espacial. 2. ed. Fortaleza: Vestseller, 2010.