Produto dos termos de uma PG finita

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada termo é igual ao produto de seu antecessor com uma constante q, chamada de razão da PG. Uma das operações que envolvem esse tipo de sequência é o cálculo da soma dos termos de uma PG finita e de uma PG infinita. Também podemos calcular o produto dos termos de uma PG quando ela é finita. A fórmula usada para isso é:

Nessa fórmula, P_n é o resultado, ou seja, o produto dos termos da PG, a₁ é o primeiro termo, “q” é a razão da PG e “n” é seu número de termos.

Demonstração

Para mostrar que o produto dos termos de uma PG pode ser obtido pela fórmula dada, devemos rever alguns conceitos em exemplos para utilizá-los na multiplicação de uma PG de “n” termos.

Dada a PG (2, 4, 8, 16, 32, …). Perceba que cada termo dela é igual ao produto do seu antecessor com a constante 2. Assim, podemos escrever todos os termos dessa PG em função do primeiro:

a₁ = 2

a₂ = 4 = a₁·2

a₃ = 8 = a₁·2·2

a₄ = 16 = a₁·2·2·2

a₅ = 32 = a₁·2·2·2·2

…

Essas igualdades podem ser escritas da seguinte maneira:

a₁ = 2

a₂ = a₁·2

a₃ = a₁·2²

a₄ = a₁·2³

a₅ = a₁·2⁴

…

Observe que o expoente relacionado à razão 2 sempre é uma unidade menor do que o índice do termo analisado.

Dito isso, veja como é a sequência de termos de uma PG qualquer finita, com n termos e razão q:

a₁ = a₁

a₂ = a₁·q

a₃ = a₁·q²

a₄ = a₁·q³

a₅ = a₁·q⁴

…

a_n = a₁·q^{n – 1}

Sabemos que os expoentes relacionados à razão são sempre uma unidade menor do que o índice do termo analisado, por isso o expoente do último termo da PG deverá ser n – 1. Agora, confira o produto dos termos dessa PG:

P_n = a₁·a₂·a₃·…·a_n

Escrevendo todos esses termos em função do primeiro termo (a₁), temos:

P_n = a₁·a₁·q· a₁·q²·…·a₁·q^{n – 1}

Observe que o termo a₁ aparece n vezes nessa multiplicação. Perceba também que q aparece n – 1 vezes (pois o primeiro termo não é multiplicado pela razão). Separando os termos e a propriedade da soma de potências de bases iguais, temos:

(1) P_n = a₁ⁿ·q^{1 + 2 + … + n – 1}

Note que a soma dos expoentes de q formam a soma de uma PA de razão 1. A soma dos termos de uma PA finita é dada pela seguinte fórmula:

S_n = (b₁ + b_n)·n
      2

S_n = [1 + (n – 1)]·(n – 1)
     2

S_n = n·(n – 1)
       2

Substituindo essa soma na expressão 1, temos:

Exemplo

Encontre o produto dos termos da PG a seguir, sabendo que ela possui seis termos.

(3, 6, 12, …)

Solução:

A razão dessa PG é 2, e o primeiro termo é 3. Sabendo que essa progressão possui seis termos, substitua esses valores na fórmula: