Função logarítmica

Conhecemos como função logarítmica a função com lei de formação f(x) = log_ax, cujo domínio  são os números reais positivos e o contradomínio são os números reais. A base, por definição, deve ser positiva e diferente de 1.

A função logarítmica é útil para situações como os juros compostos — já que ela é a função inversa da função exponencial — e a medição de magnitude de terremotos, há também sua aplicação na química e na geografia. A função logarítmica pode ser crescente ou decrescente, ela é decrescente quando a sua base é um número maior que 0 e menor que 1, e crescente quando a sua base é maior do que 1.

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Definição da função logarítmica

Definimos a função logarítmica como f: R* + → R, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais não nulos e seu contradomínio são os números reais, tal que a lei de formação pode ser descrita por f(x) = log_ax_,, em que x é a variável e a é a base do logaritmo. Lembrando que, por definição, em um logaritmo a base é positiva e diferente de 1. 

Exemplos:

a) f(x) = log x  → (Quando a base não aparece no logaritmo, seu valor é 10.)

b) f(x) = log_0,5 x → (Nesse caso a base é 0,5.)

c) f(x) = log₈x  →  (Nesse caso a base é 8.)

Domínio da função logarítmica

Por definição, o domínio é o conjunto dos números reais positivos, isso acontece porque não é possível calcular-se logaritmos de um número negativo tendo a base positiva, pois um número positivo elevado a qualquer número sempre resultará em um número positivo. Por exemplo, suponha que queiramos calcular o logaritmo a seguir.

Exemplo:

• log₃ -3 → Não existe nenhum número real que faz com que 3ⁿ seja igual a -3.

Esse exemplo é um caso particular, mas podemos estender a ideia para qualquer número negativo. Por esse motivo, o domínio dessa função é somente o dos números reais positivos, o que faz com que o gráfico de uma função logarítmica, como veremos a seguir, fique apenas no primeiro e quarto quadrantes, já que o valor de x em f(x) = log_ax será sempre positivo.

Veja também: Potências com expoente fracionário e decimal

Gráfico da função logarítmica

Para construir o gráfico de uma função logarítmica, é necessário atribuir alguns valores para x e encontrar o valor de f(x) nesses casos. Existem duas possibilidades para esse gráfico, que pode ser  crescente ou decrescente. O que define seu comportamento é o valor da base a.

Seja: f(x) = log_ax

Se a > 1 → f(x) é crescente;

Se 0 < a < 1 → f(x) é decrescente.

• Função crescente 

Vamos construir o gráfico de uma função crescente, lembrando que uma função é crescente graficamente quando à medida que o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta.

Exemplo:

f(x) = log₂x

Agora que temos os pontos, é possível construirmos o gráfico.

Note que a base é maior que 1, logo, o gráfico será crescente.

• Função decrescente

Uma função é considerada decrescente quando à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui. Vamos construir um gráfico de uma função logarítmica decrescente.

Exemplo:

Agora que temos os pontos, é possível construirmos o gráfico.

Note que a base é menor que 1, logo, ele será decrescente.

Acesse também: Quais são as diferenças entre função e equação?

Função logarítmica e função exponencial

A função logarítmica e a função exponencial são conhecidas como funções inversas uma da outra. Muitos autores explicam a função logarítmica por meio da função exponencial, acontece que, se a função exponencial f(x) = a^x , f: R → R*+ tiver a sua lei de formação invertida, encontraremos a função f(x) = log_ax. Além disso, na função logarítmica, o domínio e o contradomínio invertem-se em comparação com a função exponencial, como vimos na definição.

Graficamente, se traçarmos a bissetriz dos eixos ímpares, o gráfico da função exponencial é simétrico ao gráfico da função logarítmica.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Seja f(x) = log₂x, o valor do produto f(9) · f(8) · f(7) · … · f(3) · f(2) · f(1) é igual a:

a) 0

b) 9

c) 32

d) 64

e) 1024

Resolução

Alternativa A.

Analisando a função, compreendemos que calcular cada um dos seus valores numéricos seria bastante trabalhoso e até mesmo impossível sem o uso de uma calculadora científica, porém sabemos que f(1) = log₂1 = 0, logo, como f(1) = 0 e zero é o elemento neutro da multiplicação, sabemos que o produto dos termos f(9) · f(8) · f(7) · … · f(3) · f(2) · f(1) = 0.

Questão 2 - (Enem 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por:

Sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E₁ e E₂ representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Qual a relação entre E₁ e E₂?

Resolução

Alternativa C.

Japão

M = 9 e E = E₁

Então temos que:

Chamaremos de I a equação:

- LogE₀  = 13,5 – logE₁

Agora, utilizando os dados da China, encontraremos outra equação:

M = 7,0 E = E₂

Seja II a equação:

- logE₀ = 10,5 – logE₂

Então temos que I = II, logo: