Você está aqui
  1. Mundo Educação
  2. Matemática
  3. Geometria
  4. Propriedades do polígono regular inscrito

Propriedades do polígono regular inscrito

A partir das propriedades do polígono regular inscrito na circunferência, é possível saber se suas medidas são proporcionais ou descobrir alguns de seus elementos.

Os polígonos regulares inscritos em uma circunferência apresentam uma série de propriedades que estão relacionadas a seu número de lados. Para compreender essas propriedades, lembre-se:

  • Polígonos regulares são aqueles que possuem todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma medida.

  • Polígonos são ditos inscritos em uma circunferência quando todos os seus vértices são pontos pertencentes a ela.

Exemplo de polígono regular inscrito em uma circunferência
Exemplo de polígono regular inscrito em uma circunferência

Propriedades do polígono regular inscrito

As propriedades a seguir somente são válidas quando o polígono inscrito na circunferência é regular.

1 – Os raios de um polígono regular inscrito em uma circunferência o dividem em triângulos isósceles de mesma área. Então, a área do polígono regular é igual à soma das áreas desses triângulos. Como o número de lados do polígono é igual ao número de triângulos construídos, dessa forma, a área do polígono é também igual ao produto do seu número de lados pela área de um desses triângulos.

Na imagem acima, observe que os raios do polígono são os segmentos que ligam o ponto O, centro da circunferência, à sua borda. Como todos esses raios apresentam o mesmo comprimento, os triângulos que dividem o polígono são isósceles. Além disso, cada lado do polígono é também um lado de um dos triângulos e, por terem a mesma medida pelo caso de congruência “LLL”, esses triângulos são considerados congruentes.

2 – O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um polígono regular inscrito é o centro da circunferência que o circunscreve. Lembrando que mediatriz é a reta perpendicular a um segmento e passa por seu ponto médio, essa propriedade pode ser utilizada para desenhar a circunferência a partir do polígono. Observe na seguinte imagem as mediatrizes de um polígono inscrito:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

3 – O ângulo central formado por dois raios consecutivos de um polígono inscrito em uma circunferência é dado pela razão entre 360° e o número de lados desse polígono.

4 – Dois polígonos regulares inscritos, em circunferências distintas e com o mesmo número de lados, possuem perímetros proporcionais às medidas de seus lados.

Se dois polígonos possuem o mesmo número de lados e estão inscritos em circunferências distintas, então, esses polígonos são semelhantes. É por esse motivo que existe a proporcionalidade entre os lados desses polígonos e seus perímetros. A imagem a seguir mostra essa situação com as medidas dos polígonos em destaque:

Observe que a proporção entre lados e perímetros dos dois polígonos é válida:

 1 
 3     18

5 – Dois polígonos inscritos, em circunferências distintas e com o mesmo número de lados, apresentam seus perímetros proporcionais a seus apótemas.

A partir disso, observe as medidas dos apótemas e dos perímetros dos polígonos a seguir e a proporção formada por suas medidas:

Assim, a proporção entre essas medidas é:

12  = 1,73
18      2,6 

O resultado dessa proporção é aproximado.

Polígono regular de seis lados inscrito em uma circunferência
Polígono regular de seis lados inscrito em uma circunferência
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
Artigo relacionado
Teste agora seus conhecimentos com os exercícios deste texto
Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios

Questão 1

Dado o polígono regular ABCDE inscrito em uma circunferência de raio r, analise as alternativas a seguir e assinale aquela que for correta.

a) Podemos afirmar que exatamente quatro vértices desse polígono também pertencem a essa circunferência.

b) O raio desse polígono também mede r e equivale a todo segmento de reta que parte do centro do polígono e vai até a sua borda.

c) Esse polígono pode ser dividido em cinco triângulos isósceles, caso a divisão seja feita por meio de seus raios.

d) O centro desse polígono não coincide com o centro da circunferência na qual ele está inscrito.

e) Os lados desse polígono podem assumir valores distintos.

Questão 2

Considere um polígono regular qualquer, inscrito em uma circunferência, e assinale a alternativa correta entre as alternativas abaixo.

a) As mediatrizes de três lados distintos jamais se encontrarão em um único ponto.

b) Caso dois polígonos convexos distintos estejam inscritos em circunferências também distintas, mas possuam o mesmo número de lados, então, esses polígonos serão semelhantes.

c) Dois polígonos regulares inscritos, com o mesmo número de lados, não possuem perímetros proporcionais às medidas de seus lados.

d) Os perímetros de dois polígonos regulares inscritos em circunferências distintas e com o mesmo número de lados não são proporcionais aos seus apótemas.

e) Não existe propriedade envolvendo os ângulos centrais formados pelos raios de polígonos regulares inscritos em circunferências.

Mais Questões
Assuntos relacionados
O hexágono regular é um exemplo de polígono
Polígonos
Aprenda o que são polígonos, descubra algumas das propriedades dessas figuras e entenda a diferença entre polígonos convexos e regulares.
Exemplo de eneágono regular com destaque para um triângulo, que pode ser usado para calcular a área dessa figura
Área do polígono regular
Clique e aprenda a calcular a área de um polígono regular por meio de uma fórmula que utiliza as medidas de seu lado e seu apótema.
As relações métricas podem ser usadas para calcular medidas do hexágono regular inscrito em uma circunferência
Relações métricas no hexágono regular inscrito
Clique e aprenda o que são relações métricas no hexágono regular inscrito e descubra como usá-las para calcular as medidas do lado e do apótema.
Classificação de triângulos
Classificação de triângulos: critérios e nomes
Área do triângulo
Calculando a área de um triângulo no plano cartesiano utilizando os conceitos de geometria analítica.
Triângulos isósceles: dois lados com a mesma medida
Propriedades do triângulo isósceles
Veja propriedades que podem ser usadas para diferenciar triângulos isósceles de triângulos escalenos.
Polígono formado por outros polígonos com número de lados em progressão aritmética
Polígonos convexos e regulares
Compreenda a definição de polígonos, bem como todos os pré-requisitos para que eles sejam considerados convexos e regulares.
Exemplos de círculos coloridos
Círculo e circunferência
Entenda a diferença entre círculo e circunferência, além de algumas propriedades e definições básicas que envolvem essas figuras geométricas!
Ângulos notáveis e alguns instrumentos que os representam
Ângulos
Clique para aprender o que são ângulos, como medi-los e algumas características dos ângulos notáveis.
Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência
Elementos do polígono regular inscrito
Clique e aprenda o que são os elementos do polígono regular inscrito em uma circunferência e conheça algumas propriedades básicas deles.