Regras de derivação

O cálculo de derivadas pode ser feito de duas formas: utilizando a definição de derivada, que envolve um limite que tende a uma indefinição, ou utilizando regras de derivação, cujo funcionamento é garantido pela análise matemática.

Em primeiro lugar, as derivadas, quando existem, determinam a inclinação da reta tangente a uma função f (x). Essa inclinação também é conhecida como taxa de variação e é utilizada para resolver os mais variados tipos de problemas matemáticos. Para determinar essa inclinação, deve-se calcular o limite abaixo. Dessa maneira, f ' (x) é a derivada da função f (x) e diz-se que f (x) é derivável no ponto p.

f ' (x) = lim    f (x) – f (p)
      x→p      x – p

As notações mais utilizadas para a derivada da função f (x) são: f ' (x) ou [f (x)]'. Se essas derivadas forem calculadas no ponto p, as notações passarão a ser: f '(p) ou [f (p)]'.

Calcular esse limite não é grande desafio para funções polinomiais com grau 2 ou 3, uma vez que as propriedades de limites garantem que o limite das somas é igual à soma dos limites e, dessa forma, diante do limite de um polinômio, basta calcular os limites de cada monômio que o formou. Contudo, funções polinomiais de grau muito alto ou outros tipos de funções imprimem um alto grau de dificuldade para o cálculo desse limite. Dessa forma, buscando maior agilidade e facilidade para os cálculos de derivadas, é possível provar os resultados subsequentes, usualmente conhecidos como propriedades das derivadas, ou regras de derivação.

Regras de derivação

Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, valem as propriedades:

i) Se f (x) = a, então f ' (x) = 0.

ii) Se f (x) = ax, então f ' (x) = a.

iii) (Regra do tombo) Se f (x) = x^a, então f ' (x) = a·x^{a – 1}.

iv) (Derivada da soma) [f (x) + g (x)]' = f ' (x) + g' (x).

v) [af (x)]' = a·f ' (x).

vi) (Regra do produto) [f (x) g (x)]' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).

vii) (regra do quociente):

Exemplos:

Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) = x³

Pela regra do tombo:

f ' (x) = 3x^{3 – 1} = 3x²

Exemplo 2: Calcule a derivada de f (x) = 3x⁴

Pela regra do tombo:

f ' (x) = 4·3x^{4 – 1}

f ' (x) = 12x³

Exemplo 3: Calcule a derivada de f (x) = √x

Pela regra do tombo:

f (x) = x^1/2

f ' (x) = 1x^{1/2 – 1}
  2 

f ' (x) = 1x^–1/2
    2

f ' (x) = 1
                 2x^1/2

f ' (x) = 1
               2√x

Exemplo 4: Calcule a derivada de f (x) = x²·(3x – 1)

Pode-se resolver esse problema pela simplificação do polinômio ou por meio da regra do produto:

f ' (x) = 2x(3x – 1) + x²(3 – 0)

f ' (x) = 6x² – 2x + 3x²

f ' (x) = 9x² – 2x

Exemplo 5: Calcule a derivada da função:

d (x) = 4x³ + 1
           5x²

No caso da função d (x), temos as funções f (x) = 4x³ + 1 e g (x) = 5x². Portanto, utilizando a regra do quociente, teremos:

Logo, pela regra do quociente, a derivada da função d (x) é dada por:

d ' (x) = 12x²·5x² - (4x³ + 1)·10x
          (5x²)²