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Simetria

Simetria é uma propriedade geométrica em que as figuras possuem formas exatamente iguais, voltadas umas para as outras, rotacionadas ou transladadas.
Simetria nas asas abertas de uma borboleta em repouso.
Simetria nas asas abertas de uma borboleta em repouso.

Simetria é a propriedade geométrica de um objeto que pode sofrer modificações (ser dividido em partes iguais, rotacionado ou deslocado) e ainda manter sua forma original. Esse conceito está presente em diversas áreas do conhecimento, como no estudo das Artes, das Ciências Naturais e da Matemática.

Leia também: Noções primitivas de Geometria — ponto, reta, plano e espaço

Resumo sobre simetria

  • Simetria é a propriedade de transformar ou mover uma figura sem alterar sua forma original.
  • As principais formas de simetria são de reflexão, de rotação e de translação.
  • Na simetria de reflexão, uma forma pode ser dividida em duas partes iguais.
  • Na simetria de rotação, uma figura é rotacionada em relação a um ponto.
  • Na simetria de translação, uma figura é deslocada em qualquer direção.
  • Uma figura que não é simétrica é chamada de assimétrica.
  • As formas de vida naturais geralmente possuem algum elemento simétrico.

O que é simetria?

Simetria é a propriedade geométrica de transformar ou mover uma figura sem alterar sua forma original. Na Matemática, dizemos que uma figura é simétrica se ela puder ser dividida em duas partes exatamente iguais, rotacionada ou deslocada em relação a um ponto e continuar com sua forma original.

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Tipos de Simetria

Dentre os principais tipos de simetria destacam-se três: a simetria de reflexão, de rotação e de translação.

→ Simetria de reflexão

A simetria de reflexão é caracterizada pela capacidade de uma figura ser dividida em duas partes exatamente iguais. Assim, quando uma imagem pode ser dividida em duas partes exatamente iguais por meio de uma reta, dizemos que essa figura possui simetria de reflexão em relação a essa reta. Nesse caso, a reta ou o eixo operam como se fossem um espelho que “reflete” uma das partes da imagem em torno dele. A partir dessa ideia, é possível construir facilmente figuras simétricas.

Na imagem a seguir, temos o desenho de meio girassol e um eixo vertical. Quando “refletimos” a imagem do meio girassol em relação a esse eixo, produzimos um girassol completo, criando duas partes que são exatamente iguais e, portanto, simétricas.

Representação da construção de um girassol simétrico, um exemplo de simetria de reflexão.
Construção de um girassol simétrico.

→ Simetria de rotação

A simetria de rotação é caracterizada pela rotação que uma figura faz em relação a determinado ponto. Assim, a figura original e a figura obtida através desse giro possuem exatamente a mesma forma, mudando-se apenas a posição delas.

A simetria de rotação é muito utilizada em artes de logotipos de empresas, justamente pelo fator harmônico e de fácil entendimento que elas oferecem.

Observe na imagem a seguir a representação de uma flor. Perceba que cada uma de suas pétalas é exatamente igual às outras. Essa flor representa uma figura obtida pela simetria de rotação, ou seja, cada pétala é igual à anterior rotacionada 45°.

Representação de uma flor obtida pela simetria de rotação de uma de suas pétalas.
Representação de uma flor obtida pela simetria de rotação de uma de suas pétalas.

→ Simetria de translação

A simetria de translação é caracterizada pelo “deslocamento” da figura original para qualquer direção, sem modificação de sua forma e proporção originais.

Na área das artes, é possível obter diversos exemplos de formas que são transladadas várias vezes, criando um padrão.

Na imagem a seguir, temos alguns elementos que remetem à cultura egípcia, que foram transladados horizontal e verticalmente, como a representação do besouro e do Olho de Hórus, criando um belo ornamento.

Ornamento egípcio com besouro e Olho de Hórus, feito com simetria de translação.
Exemplo de ornamento com elementos egípcios transladados.

Podemos então resumir as principais possibilidades de simetria de figuras geométricas através da seguinte imagem:

Simetrias de translação, rotação e reflexão de figuras geométricas
Simetrias de translação, rotação e reflexão de figuras geométricas

Simetria x assimetria

Existem certas condições para que uma figura seja simétrica a ela mesma ou a outras figuras. Assim, quando uma figura não é simétrica dizemos que ela é assimétrica.

Contudo, existem figuras, objetos e seres que naturalmente são assimétricos, mas possuem elementos simétricos. Um grande exemplo é o próprio ser humano, que possui uma face que não é perfeitamente simétrica (em relação a uma simetria de reflexão na metade do rosto), mas possui muitos elementos simétricos, como os olhos, as duas metades do nariz e da boca, entre outros.

Saiba mais: Qual é o teorema fundamental da semelhança?

Qual é a importância da simetria?

Estudando figuras geométricas, utilizamos conceitos de simetria de forma natural, muitas vezes, sem perceber. Isso porque muitas das figuras geométricas planas usuais são simétricas, como podemos ver na imagem a seguir:

Ilustração de um quadrado, de um retângulo e de um triângulo equilátero, exemplos de figuras geométricas que têm simetria.
O quadrado, o retângulo e o triângulo equilátero são exemplos de figuras geométricas que possuem simetria.

Contudo, a simetria possui um valor significativo não apenas para as áreas do conhecimento, mas para a vida em si. A natureza e os seres vivos são compostos por elementos simétricos, de forma isolada ou com combinações de simetrias.

Por exemplo, a face de um animal possui simetria reflexiva, enquanto um trevo possui simetria de rotação. Já as pegadas que o ser humano deixa quando caminha sobre a areia são a junção da simetria de translação (quando dá o passo para frente) com a simetria de reflexão (pois o passo adiante é dado com o outro pé).                   

Exercícios resolvidos sobre simetria

Questão 1

A simetria pode ser observada nas mais diferentes figuras e formas. Pensando nisso, Julia decidiu analisar as vogais do alfabeto e percebeu que elas possuem simetrias de reflexão, algumas considerando um eixo vertical, outras considerando um eixo horizontal. Dessa forma, quais são as vogais que possuem um eixo de simetria vertical? E quais possuem um eixo de simetria horizontal? Alguma delas possui mais de um eixo de simetria?

Resolução:

Vamos analisar, assim como Julia, as vogais do nosso alfabeto, ou seja, as letras A, E, I, O e U.

Perceba que a letra A pode ser dividida ao meio em duas partes iguais por um eixo vertical, assim como ocorre com a letra I, a letra O e a letra U.

Já a letra E pode ser dividida em duas partes exatamente iguais quando traçamos uma reta horizontal no meio dela, assim como ocorre com a letra O e a letra I.

Portanto, a letra A e a letra U possuem um eixo de simetria vertical, a letra E possui um eixo de simetria horizontal e as letras I e O possuem tanto um eixo de simetria vertical quanto um eixo de simetria horizontal.

Questão 2

(Enem) Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura, mantém as distâncias entre pontos. Duas das transformações isométricas são a reflexão e a rotação. A reflexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como um espelho, a imagem refletida é o resultado da transformação. A rotação é o “giro" de uma figura ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa ordem:

Figura que sofreu transformação isométrica representada em um plano cartesiano.

1ª) Reflexão no eixo x;

2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A;

3ª) Reflexão no eixo y;

4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A;

5ª) Reflexão no eixo x.

Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

Qual a posição final da figura?

A)

 Alternativa A indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

B)

Alternativa B indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

C)

Alternativa C indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

D)

Alternativa D indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

E)

Alternativa E indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

Resolução:

Alternativa C.

Para resolver a questão, basta fazer as simetrias conforme os passos de 1 a 5 descritos no problema. A imagem abaixo ilustra os passos na ordem em que foram dados.

Resolução da questão sobre as cinco transformações isométricas que uma figura sofreu.

Portanto, a posição final está indicada na imagem 5.

Publicado por Maria Luiza Alves Rizzo

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