Geometria plana

A geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas, iniciando-se nos conceitos primitivos de ponto, reta e plano, e, com base neles, desenvolvendo-se até a construção das figuras planas, com o cálculo de suas respectivas áreas e perímetros.

Os conceitos da geometria plana têm grande incidência no Enem, com recorrência de questões que exigem o conceito de área ou até mesmo noções básicas de ângulos. Além disso, ela é base para a geometria espacial, porém, a diferença entre ambas é que a primeira é bidimensional, e a segunda, tridimensional.

Conceitos da geometria plana

A construção da geometria plana, conhecida também como geometria euclidiana, deve-se aos conceitos básicos de ponto, reta e plano e às construções realizadas com base nesses elementos primitivos. Vale ressaltar que não existe definição para ponto, reta e plano, e, por isso, são conhecidos como elementos primitivos, porém todos nós conhecemos esses elementos de forma intuitiva.

→ Pontos: são sempre representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto.

→ Retas: são sempre representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto.

Com base na ideia que temos de reta, lembrando que ela é ilimitada, ou seja, infinita para os dois lados, surgem os conceitos de semirreta e segmento de reta. A fim de compreender melhor esse elemento essencial para a geometria, leia o texto: Retas.

→ Semirreta: é parte de uma reta que possui início, mas não possui fim.

→ Segmento de reta: é um segmento que se encontra entre dois pontos, ou seja, é limitado tanto no começo quanto no final.

→ Plano: é representado pelas letras do alfabeto grego.

Para aprofundar-se mais nesses conceitos fundamentais para essa área da matemática, leia o texto: Noções primitivas de geometria: ponto, reta, plano e espaço.

Posição relativa entre ponto e reta

Conhecendo os elementos primitivos, é possível fazermos análise da posição relativa entre ponto e reta.

Note que os pontos A e B pertencem à reta r → dizemos que ; A ∈ r; B ∈ r.;

E que o ponto C não pertence à reta r → dizemos que C ∉ r.

Posição relativa entre duas retas

Duas retas podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes.

→ Retas paralelas: quando não possuem nenhum ponto em comum. A representação delas é feita com duas barras c // b (lê-se: c paralela a b).

→ Retas concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.

→ Retas coincidentes: quando possuem infinitos pontos em comum, ou seja, elas são iguais.

Para saber mais sobre esse tipo de posição, acesse: Posição relativa entre duas retas.

Ângulos

Outro conceito muito importante é o de ângulo, que é a região formada pelo encontro entre duas semirretas. O ângulo é medido em graus e é classificado de acordo com a sua medida.

→ Ângulo agudo: menor que 90º

→ Ângulo reto: mede exatamente 90º.

→ Ângulo obtuso: maior que 90º

→ Ângulo raso: mede exatamente 180º.

Conheça mais detalhes sobre esse elemento essencial na geometria: Ângulos.

Figuras planas

Definimos como figura plana qualquer representação fechada feita no plano, porém existem casos especiais, conhecidos como polígonos, além da circunferência, que possuem propriedades e fórmulas que dependem da sua forma.

• Polígonos

Dentro das figuras planas, há várias figuras geometricas, algumas são mais conhecidas, como os quadriláteros, os triângulos, os pentagonos e os hexagonos. Quando a figura é fechada por segmentos de reta formando ângulos, ela é conhecida como polígono, logo, a união de segmentos de reta fechados forma as principais figuras planas, conhecidas como polígonos.

Eles são nomeados de acordo com a quantidade de ângulos ou mesmo de lados que possuem, por exemplo, triângulo (três ângulos), quadrilátero (quatro lados), pentagono (cinco ângulos). Os poligonos mais comuns são os triângulos e os quadriláteros (quadrádo, retângulo, losango e trapézio).

Os principais cálculos envolvendo os polígonos é o de perímetro, que nada mais é que a soma de todos os lados da figura, e o de área, que depende da sua forma, ou seja, cada figura terá uma fórmula para esse cálculo.

→ Área de triângulos

b: base

h: altura

→ Área de quadriláteros

• Área de um quadrado

A = l²

• Área de um paralelogramo

A = b . h

• Área de um retângulo

A = b . h

• Área de um losango

D: diagonal maior

d: diagonal menor

• Área de um trapézio

B: base maior

b: base menor

Círculo e circunferência

O círculo não é considerado um polígono, afinal ele não possui lados, mas é uma figura plana de grande importância. Nele calculamos o que chamamos de comprimento de circunferência (C), que é análogo à ideia de perímetro, ou seja, o comprimento do contorno. Também é possível calcular a área.

Chamamos de circunferência o contorno e de círculo toda a região desde o centro até o contorno.

• Área de círculo e comprimento de circunferência

C = 2πr

A = πr²

r: raio da circunferência

Geometria plana no Enem

Na prova do Enem, as questões que envolvem a geometria plana, em sua maioria, são médias ou médias fáceis. Elas costumam combinar-se com outros conteúdos, por exemplo, noções de escala e proporção.

O conteúdo mais cobrado da geometria plana no Enem é, sem dúvida, a noção de área de polígonos e de circunferência, além dos estudos específicos para triângulos. Vale ressaltar que até mesmo questões sobre trigonometria e geometria espacial exigem que o candidato domine a geometria plana.

Analisando os cadernos amarelos de 2014 até 2019, existe uma variação na quantidade de questões de geometria plana, não obstante, pode-se afirmar que são, no mínimo, cinco questões por ano.

→ 2019

139 - Noções básicas da geometria plana

149 - Círculo e circunferência

151, 169 - Área

171, 175 - Triângulos

→ 2018

139, 169 - Noções básicas de geometria plana

142 - Área

155 - Ângulos

→ 2017

137, 169 - Áreas

147 - Noções básicas de ângulo

157 - Círculo e circunferência

175 - Círculo, circunferência e triângulo equilátero

→ 2016

154, 159, 166, 175 - Área de figuras planas

179 - Conceitos básicos da geometria

171 - Círculo e circunferência

→ 2015

143, 151, 161, 171 - Área de figuras planas

140 - Triângulo equilátero e círculo

148 - Noções básicas da geometria plana

→ 2014

136, 154 - Noções básicas da geometria plana

159 - Área

163, 168 e 174 - Retângulos

166 - Triângulos

Veja também: Como estudar geometria para o Enem?

Geometria plana x geometria espacial

No mundo que vivemos, não há só duas dimensões como na geometria plana, sendo assim, surge a necessidade do estudo da geometria espacial, que possui três dimensões. Vale ressaltar que as duas possuem igual importância, porém a geometria plana é pré-requisito para o aprendizado da geometria espacial.

Na geometria plana, trabalhamos com elementos conhecidos como figuras geométricas, como quadrado, retângulo, losango e círculo. Note que todos possuem duas dimensões, já na geometria espacial os elementos trabalhados são chamados de sólidos geométricos, como prisma, cubo, cone e esfera.

Durante a resolução de problemas da geometria espacial, muitas vezes, precisamos recorrer a conceitos da geometria plana, por exemplo, o cálculo de volume de prismas, em que usamos a área da base, que é uma figura plana. Isso também ocorre no estudo de poliedros que possuem lados formados por poligonos, por exemplo, o cubo possui lados no formato de quadrados. Esses são casos, entre vários, que mostram o quanto o estudo da geometria espacial depende da geometria plana.

Note na imagem a diferença entre o cubo, sólido geométrico tridimencional, e o quadrado, elemento bidimencional da geometria plana.

Veja também: Diferenças entre figuras planas e espaciais

Exercício resolvido

01) Duas circunferências concêntricas (de mesmo centro), conforme mostra a imagem, são usadas para determinar a área de um terreno, de modo que a primeira possui raio 10 m, e a segunda, de 15 m. A área entre as duas é o que deve ser determinado. Qual é a área desse terreno? (use π = 3,14)

a) 942,5 m²

b) 628 m²

c) 157 m²

d) 392,5 m²

Para encontrar a área desejada, vamos calcular A₁ como área da circunferência maior e A₂ como a área da circunferência menor, posteriormente, calcularemos a área desejada A = A₁ – A₂.

A₁ = πr² = 3,14 . 15²

A₁ = 3,15 . 225 = 706,5 m²

Calculando A₂:

A₂ = πr² = 3,14 . 10²

A₂ = πr² = 3,14 . 100 = 314 m²

Por fim, a área desejada:

A= 706,5 – 314 = 392,5

Letra d