Transformações trigonométricas

As transformações trigonométricas são fórmulas ou métodos usados para calcular operações entre arcos feitas dentro de razões trigonométricas. É por meio de uma transformação trigonométrica que calculamos, por exemplo, o seno de 30° + 45°, e não apenas encontrando seus valores individuais e somando os resultados. Isso pode ser representado da seguinte forma:

sen(a + b) ≠ sena + senb

Soma e diferença de dois arcos

As fórmulas a seguir são a maneira correta de somar ou subtrair seno, cosseno e tangente de dois arcos:

1) sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

2) sen(a – b) = sena·cosb – senb·cosa

3) cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

4) cos(a – b) = cosa·cosb + sena·senb

5) tg(a + b) =    tga + tgb  
                     1 – tga·tgb

6) tg(a – b) =    tga – tgb   
                     1 + tga·tgb

Essas duas últimas fórmulas são válidas quando:

a,b são diferentes de π + 2kπ
                      2

Nesse caso, k é um número inteiro qualquer. Além disso, 1 + tga·tgb ≠ 0 para a sexta fórmula, e 1 – tga·tgb ≠ 0 para a quinta.

Funções de arco duplo

Essas transformações trigonométricas são obtidas diretamente das anteriores quando a = b. São elas:

1) sen2a = 2sena·cosa

2) cos2a = cos²a – sen²a

3) tg2a =    2tga   
              1 – tg²a

A transformação 2, referente ao cosseno, também possui as duas formas a seguir:

cos2a = 1 – 2sen²a

cos2a = 2cos²a – 1

A fórmula número 3 apresenta algumas restrições:

a ≠ π + kπ, com k inteiro
2                       

a ≠ π + kπ, com k inteiro
4     2                

Transformação em produto

Por meio das fórmulas a seguir, é possível escrever uma soma ou uma subtração entre senos ou entre cossenos na forma de produto.