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Transformações trigonométricas

As transformações trigonométricas são usadas para descobrir seno, cosseno e tangente da soma e da diferença de dois arcos e para transformar adições de arcos em produto.

As transformações trigonométricas são fórmulas ou métodos usados para calcular operações entre arcos feitas dentro de razões trigonométricas. É por meio de uma transformação trigonométrica que calculamos, por exemplo, o seno de 30° + 45°, e não apenas encontrando seus valores individuais e somando os resultados. Isso pode ser representado da seguinte forma:

sen(a + b) ≠ sena + senb

Soma e diferença de dois arcos

As fórmulas a seguir são a maneira correta de somar ou subtrair seno, cosseno e tangente de dois arcos:

1) sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

2) sen(a – b) = sena·cosb – senb·cosa

3) cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

4) cos(a – b) = cosa·cosb + sena·senb

5) tg(a + b) =    tga + tgb  
                     1 – tga·tgb

6) tg(a – b) =    tga – tgb   
                     1 + tga·tgb

Essas duas últimas fórmulas são válidas quando:

a,b são diferentes de π + 2kπ
                      2

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Nesse caso, k é um número inteiro qualquer. Além disso, 1 + tga·tgb ≠ 0 para a sexta fórmula, e 1 – tga·tgb ≠ 0 para a quinta.

Funções de arco duplo

Essas transformações trigonométricas são obtidas diretamente das anteriores quando a = b. São elas:

1) sen2a = 2sena·cosa

2) cos2a = cos2a – sen2a

3) tg2a =    2tga   
              1 – tg2a

A transformação 2, referente ao cosseno, também possui as duas formas a seguir:

cos2a = 1 – 2sen2a

cos2a = 2cos2a – 1

A fórmula número 3 apresenta algumas restrições:

a ≠ π + kπ, com k inteiro
2                       

a ≠ π + , com k inteiro
4     2                

Transformação em produto

Por meio das fórmulas a seguir, é possível escrever uma soma ou uma subtração entre senos ou entre cossenos na forma de produto.

As transformações trigonométricas são métodos que usam as razões trigonométricas para fazer operações entre arcos
As transformações trigonométricas são métodos que usam as razões trigonométricas para fazer operações entre arcos
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
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Lista de Exercícios

Questão 1

Por meio de transformações trigonométricas, é possível determinar o valor de ângulos resultantes da soma ou da subtração entre os ângulos notáveis. A partir dessa informação, qual é o sen2985°?

a) √8
     4

b) √3 + √2

c) 4√6

d) √2 + √6
        4

e) √6

Questão 2

Qual é o valor de A, sabendo que A = (cosx – cosy)2 + (senx + seny)2 e que x e y são complementares?

a) A = 2

b) A = 3

c) A = 4

d) A = 5

e) A = 6

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