Adição e subtração de matrizes

A adição e a subtração de matrizes seguem um raciocínio muito próximo das demais aplicações dessas operações. No conjunto dos números reais, as operações de adição e subtração estão muito bem definidas, ou seja, toda vez que as realizamos, o resultado sempre será real. No conjunto das matrizes a situação não é diferente, sempre que realizamos essas operações entre duas matrizes, o resultado também pertencerá ao conjunto das matrizes. Em Matemática, quando isso ocorre, dizemos que esse conjunto é fechado para a operação de adição e subtração.

A fim de realizar as operações de adição ou subtração no conjunto das matrizes, devemos ficar atentos a uma condição: a ordem das matrizes deve sempre ser igual.

Matriz genérica de n linhas e m colunas.

Ordem de uma matriz

Sabemos que uma matriz é composta por linhas e colunas, e que as linhas são dispostas de maneira horizontal e as colunas de maneira vertical. Além disso, a fim de representar uma matriz, vamos utilizar a seguinte notação:

A _{m x n}

m → Linha da matriz

n → Coluna da matriz

Lemos da seguinte maneira: matriz A de ordem m por n. Veja alguns exemplos:

a) A _{5 x 2}→ matriz A possui 5 linhas e 2 colunas

b) B _{2 x 2}→ matriz B possui 2 linhas e 2 colunas

Adição de matrizes

Para realizar a adição entre matrizes A e B, essas devem ser de mesma ordem, ou seja, devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Agora, para efetuar a operação, temos que somar termo a termo da matriz, isto é, elemento correspondente a elemento corresponde. Matematicamente temos:

Considere as matrizes A = (a_{i j}) _{m x n}e B = (b_{i j}) _{m x n}, então:

A + B = (a_{i j}+ b_{i j})_{m x n}

Exemplo

Considere as matrizes A e B e determine A + B.

Somando termo a termo das matrizes A e B, temos:

Veja também: Multiplicação de matrizes: aprenda o processo

Subtração de matrizes

Para realizar a subtração entre matrizes A e B, elas também devem ser de mesma ordem, ou seja, devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Agora, para efetuar a operação, temos que subtrair termo a termo da matriz, isto é, elemento correspondente a elemento corresponde. Matematicamente temos:

Considere as matrizes A = (a_{i j}) _{m x n}e B = (b_{i j}) _{m x n}, então:

A - B = (a_{i j}- b_{i j})_{m x n}

A mesma ideia que aplicamos para a adição de matrizes devemos aplicar para subtração. Em vez de somar termo a termo, vamos subtrair.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Ufes) Os valores de x e y que satisfazem a equação matricial:

a) x = -1 e y = -1

b) x = 1 e y = 1

c) x = 2 e y = -1

d) x = 2 e y = 2

Solução

Primeiramente somamos as matrizes do lado esquerdo da igualdade e igualamos o resultado com a matriz do lado direito da igualdade, lembrando que a igualdade entre matrizes também é feita termo a termo.

Igualando termo a termo, obtemos o seguinte sistema de equações:

Multiplicando a equação de baixo por 3, obtemos:

Somando termo a termo das equações, teremos que:

7x = 7

x = 1

Agora, substituindo o valor de x em qualquer uma das equações, obtemos:

x + 3y = 4

1 + 3y = 4

3y = 4 – 1

3y = 3

y=1

Portanto: x = y =1.