Matriz simétrica
Conhecemoscomo matriz simétrica a matriz A que possui matriz transposta, \(A^t\) , igual à própria matriz A, ou seja, uma matriz que é igual a sua matriz transposta, A =At. Para tanto, é necessário que ela seja quadrada e que os termos aij sejam iguais aos termos aji.
Ao observar a matriz se traçarmos um eixo em sua diagonal, podemos perceber se ela é simétrica ou não. Existe também a matriz antissimétrica, quando a matriz transposta é igual à matriz oposta, ou seja, At = -A.
Leia também: O que é uma matriz inversa?
Resumo sobre matriz simétrica
- Uma matriz é dita simétrica se ela for igual a sua transposta:
\(A=A^t\)
- O eixo de simetria da matriz simétrica é a diagonal principal.
- Existe também a matriz antissimétrica, quando a matriz transposta é igual à matriz oposta:
\(A^t=-A\)
- Existem algumas propriedades da matriz simétrica, são elas:
- Para todos os temos da matriz, temos que aij = aji.
- As colunas e linhas da matriz A são iguais às colunas e linhas da matriz At.
O que é uma matriz simétrica?
Chamamos de matriz simétrica toda matriz cuja matriz transposta é igual à própria matriz, ou seja, A = At. Para compreender o que é uma matriz simétrica, é importante revermos o que é uma matriz transposta.
- Matriz transposta: quando invertemos as linhas e colunas de uma matriz, ou seja, dada a matriz A, a matriz transposta de A, representada por At, terá em sua primeira coluna a primeira linha da matriz A; já a segunda coluna da matriz transposta será a segunda linha da matriz A, e assim sucessivamente.
Exemplo:
\(A=\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A^t=\left(\begin{matrix}1&3&5\\2&4&6\\\end{matrix}\right)\)
- Matriz simétrica: sabendo o que é uma matriz transposta, dada a matriz A, quando calculamos a matriz transposta de A e encontramos a própria matriz A, ou seja, A = At, então essa matriz é simétrica.
Exemplo:
\(A=\left[\begin{matrix}1&-2&4\\-2&2&0\\4&0&3\\\end{matrix}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A^t=\left[\begin{matrix}1&-2&4\\-2&2&0\\4&0&3\\\end{matrix}\right]\)
Podemos afirmar que a matriz A é simétrica, pois A = At.
Propriedades da matriz simétrica
- A matriz simétrica é sempre uma matriz quadrada, pois somente nesta é que o número de linhas é igual ao número de colunas, logo, a matriz transposta também terá a mesmo forma.
- Em uma matriz simétrica, os termos aij são iguais aos termos aji.
a12 = a21 = b
a13 = a31 = c
a32 = a23 = d
- Em uma matriz simétrica, as linhas e as colunas são respectivamente iguais.
Note que a primeira linha da matriz A é igual à primeira linha, também a primeira coluna da sua matriz transposta, o mesmo acontece com a segunda linha e com a terceira linha.
Leia também: Matriz triangular — um caso especial de matriz quadrada
Diferenças entre a matriz simétrica e a matriz antissimétrica
Além da matriz simétrica, existe a matriz antissimétrica. Uma matriz é asim quando a sua transposta for igual à matriz oposta, ou seja, dada a matriz A, a matriz A é antissimétrica se At= -A
Exemplo:
\(A\ =\ \left[\begin{matrix}0&-3&2\\3&0&-1\\-2&1&0\\\end{matrix}\right]\)
Calculando a matriz transposta de A, temos que:
\(A^t=\left[\begin{matrix}0&3&-2\\-3&0&1\\2&-1&0\\\end{matrix}\right]\)
Perceba que a matriz transposta de A, ou seja, \(A^t\), é igual à matriz oposta de A, pois note que é como se tivéssemos multiplicado a matriz A por -1. Então temos que:
\(A^t=\left[\begin{matrix}0&3&-2\\-3&0&1\\2&-1&0\\\end{matrix}\right]=-A\ \)
Exercícios resolvidos sobre matriz simétrica
Questão 1
A matriz M a seguir é simétrica, então o valor de x + y + z é:
\(M\ =\ \left[\begin{matrix}1&2&-4\\x&3&z\\y&7&0\\\end{matrix}\right]\)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolução:
Alternativa E
Como a matriz é simétrica, sabemos aij = aji, então temos que:
a12 = a21
x = 2
a13 = a31
-4 = y
y= -4
a23 = a32
7 = z
z = 7
Assim, x + y + z = 2 + (-4) + 7 = 5
Questão 2
Analise a matriz a seguir:
\(A=\ \left[\begin{matrix}0&2\\-2&0\\\end{matrix}\right]\)
Podemos afirmar que:
I. A matriz é simétrica.
II. A matriz é antissimétrica.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a I é verdadeira.
B) Somente a II é verdadeira.
C) Ambas são verdadeiras.
D) Ambas são falsas.
Resolução:
Alternativa B
Quando calculamos a matriz transposta de A, temos que:
\(A^t=\left[\begin{matrix}0&-2\\2&0\\\end{matrix}\right]\)
Note que a transposta de A não é igual à matriz A, logo, a afirmativa I é falsa.
Por outro lado, perceba que \(A^t=-A\) , então essa matriz é antissimétrica, logo, a afirmativa II é verdadeira.
Portanto, somente a II é verdadeira.