Equação geral da reta
A equação geral da reta é estudada na geometria analítica, que busca traduzir, por meio de uma equação, o comportamento de algumas figuras geométricas quando representadas no plano cartesiano, entre elas a reta. A equação geral da reta é uma maneira de descrever o comportamento da reta de forma algébrica.
Para encontrar a equação geral da reta, conhecendo dois pontos da reta, calculamos o determinante da matriz que tem como linha as coordenadas desses pontos e igualamos a zero. Ao calcular esse determinante, encontramos a equação geral da reta. O gráfico de uma reta, quando representado no plano cartesiano, pode ser crescente ou decrescente. A equação geral da reta é: ax + by + c = 0.
Leia também: Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano
Resumo sobre a equação geral da reta
- É uma forma de descrever a reta algebricamente.
- É a equação ax + by + c = 0.
- Para encontrá-la conhecendo os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), calculamos o determinante:
Afinal, qual é a equação geral da reta?
A equação geral da reta é a que descreve, de forma algébrica, o comportamento da reta quando ela é representada no plano cartesiano. Dado os pontos (x, y), esses pontos pertencem à reta se respeitarem a equação geral da reta:
Exemplos:
Como se constrói a equação geral da reta
Conhecendo as coordenadas de dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencentes à reta, podemos então encontrar a equação geral da reta calculando o determinante:
Exemplo 1:
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 4) e B(3, 7).
Resolução:
Calculando o determinante e igualando ele a zero, temos que:
Então a equação geral da reta é:
Exemplo 2:
Analise a reta apresentada no plano cartesiano a seguir:
Encontre a equação da reta r.
Resolução:
Analisando o gráfico, podemos destacar os pontos A(2, 1) e B(5, 4). Então calcularemos o determinante igualado a zero:
Note que todos os termos são múltiplos de 3, logo, podemos dividir todos os elementos por 3, encontrando a equação geral da reta:
Gráfico da equação geral da reta
Para encontrar o gráfico da equação de determinada reta, é necessário encontrar dois pontos. Ao marcar os dois pontos no plano cartesiano, pode-se fazer o esboço do gráfico da equação traçando a reta que passa por esses dois pontos. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo:
Construa o gráfico da reta que tem equação geral 2x + y – 1 = 0.
Resolução:
Conhecendo a equação da reta, para representá-la no gráfico, basta encontrarmos dois pontos pertencentes a essa equação. Atribuiremos um valor numérico qualquer para x e encontraremos o seu correspondente em y.
Seja x = 1, temos que:
Então sabemos que o ponto A(1, -1) pertence à reta. Agora, vamos atribuir outro valor qualquer para o x e encontrar um segundo ponto pertencente à reta.
Seja x = 0, temos que:
Desse modo, o ponto B(0, 1) também pertence à reta.
Agora, marcaremos esses dois pontos no plano cartesiano e traçaremos a reta que passa por eles.
Exercícios resolvidos sobre a equação geral da reta
Questão 1
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 1) e B(4, 7) é:
A) 3x + 2y – 5 = 0
B) x + 2y – 10 = 0
C) 6x + y + 10 = 0
D) -3x + y + 5 = 0
E) 3x – y – 5 = 0
Resolução:
Alternativa D
Dados os pontos A e B, calcularemos o determinante, e, igualando-o a zero, temos que:
Note que todos os termos são múltiplos de 2, dividindo toda a equação por 2, temos que:
Questão 2
Analise a equação geral da reta
A) (2, 0)
B) (3, -3)
C) (1, -1)
D) (-1, 9)
E) (0, -5)
Resolução:
Alternativa D
Para verificar se o ponto pertence à equação, vamos substituir o valor de x e de y e verificar se a equação é verdadeira:
A) (falsa)
B) (falsa)
C) (falsa)
D) (verdadeira)
E) (falsa)