Baricentro de um triângulo
Conhecemos como baricentro do triângulo o centro de gravidade do triângulo. O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, o ponto de encontro quando traçamos as suas três medianas. Ao traçar a mediana de cada um dos vértices do triângulo, o baricentro é o ponto de encontro das três medianas.
Quando conhecemos as coordenadas de cada um dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, para calcular o seu baricentro, basta calcular a média aritmética dos valores de x e dos valores de y.
Leia também: Quais são as propriedades do triângulo equilátero?
Resumo sobre baricentro de um triângulo
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O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas do triângulo.
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O baricentro é conhecido também como centro de gravidade do triângulo.
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O baricentro divide qualquer uma das medianas na razão 1 para 2.
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Para calcular a posição do baricentro de um triângulo no plano cartesiano, utilizamos a fórmula:
O que é o baricentro?
No estudo dos triângulos, existem os pontos conhecidos como notáveis, os pontos específicos de um triângulo, são eles:
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o baricentro
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o incentro
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o circuncentro
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o ortocentro
Cada um possui propriedades específicas e é encontrado de maneira diferente. O baricentro, em específico, é o ponto de encontro das medianas do triângulo. Todo triângulo possui três medianas, e mediana é o segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto, como na imagem a seguir:
Quando traçamos as três medianas do triângulo simultaneamente, é possível encontrar o ponto de encontro delas, denotado por G, o baricentro do triângulo:
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Videoaula sobre os pontos notáveis de um triângulo
Propriedades do baricentro
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Propriedade 1
Dada qualquer uma das medianas do triângulo, o baricentro divide-a em dois novos segmentos cujos comprimentos estão em razão 1 para 2.
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Propriedade 2
Em todo triângulo, o baricentro é um ponto interno.
Como as medianas são segmentos que ligam de forma interna o vértice ao ponto médio do lado oposto, ou seja, são sempre segmentos internos do triângulo, consequentemente, o baricentro é um ponto interno do triângulo.
Passo a passo de como se calcula o baricentro
No estudo da geometria analítica, quando representamos o triângulo ABC, no plano cartesiano, em que os vértices possuem coordenadas A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e o seu baricentro, G(xG, yG), para calcular as coordenadas do baricentro, basta fazer a média aritmética entre os valores de x para os vértices A, B e C e os valores de y para os mesmos vértices.
Exemplo:
Um triângulo foi representado no plano cartesiano, sendo que os seus vértices são os pontos A (-1, -2), B (3, 5) e C (4, -3), calcule a coordenada do baricentro desse triângulo.
Para encontrar o baricentro desse triângulo, vamos calcular a soma das abscissas dos pontos A, B e C e dividir por três:
Faremos o mesmo processo com os valores da ordenada:
Então, o par ordenado que representa a localização do baricentro desse triângulo é o ponto G(2, 0).
Veja também: Como podemos classificar um triângulo?
Exercícios resolvidos sobre o baricentro de um triângulo
Questão 1 - (Seduc – CE) O baricentro de uma área plana é o ponto no qual está localizado o centro de gravidade da área considerada. Na matemática, define-se o baricentro de uma área limitada por um triângulo como sendo o ponto de interseção das medianas do triângulo. Se no plano cartesiano os pontos (1, 6) e (3, 2) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto (5/3, 3), então, o terceiro vértice desse triângulo é o ponto:
A) (2/3, 1)
B) (1, 1)
C) (1, 4/3)
D) (2/3, 4/3)
E (1, 2/3)
Resolução
Alternativa B
Nomeando os vértices do triângulo de A, B e C, seja A(1,6) e B (3,2), como não conhecemos as coordenadas do terceiro vértice, faremos sua representação por C(x,y).
Sabemos que o baricentro é o ponto (5/3, 3). Substituindo na fórmula os valores dos pontos A, B e do baricentro, temos que:
Agora, encontraremos o valor de y:
Então, as coordenadas do ponto C são (1, 1).
Questão 2 - As coordenadas do baricentro do triângulo a seguir são:
A) (3, 2)
B) (2, 3)
C) (-2, 3)
D) (6, 4)
E) (-4, -6)
Resolução
Alternativa B
Identificando as coordenadas de cada um dos pontos, temos que A(-1, 3), B(1, 2) e C(6, 4).
Agora, calcularemos o baricentro:
As coordenadas do ponto G são (2, 3).