Equação geral da circunferência
A equação geral da circunferência é objeto de estudo da geometria analítica, área da matemática que analisa o comportamento de elementos da geometria no plano cartesiano. Representar a circunferência por uma equação permite estudar essa figura de forma algébrica e também identificar o valor do seu centro e do seu raio.
Para encontrar a equação geral da circunferência com base em um gráfico, primeiro encontramos a equação reduzida e, resolvendo os produtos notáveis, chegamos à equação geral.
Veja também: O que é plano cartesiano?
Qual é a equação geral da circunferência?
A partir da equação reduzida da circunferência, encontramos a equação geral, já que ela é desenvolvida a partir do cálculo dos produtos notáveis na equação reduzida.
A equação reduzida é dada por:
(x – a)² + (y – b)² = r²
Vamos desenvolver os produtos notáveis (x – a)² e ( y – b)² e encontraremos a seguinte equação:
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²
Colocando em ordem de acordo com o grau de cada termo e igualando a equação a zero, a equação geral da circunferência é:
x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = 0 |
Como encontrar a equação geral da circunferência?
Analisando a circunferência no plano cartesiano, para encontrar a equação geral, precisamos encontrar a equação reduzida e desenvolver os produtos notáveis, conforme o exemplo a seguir.
→ 1º passo: encontrar o centro e o raio.
Analisando a circunferência, o centro é o ponto C(-1,1). Já analisando a distância do centro até a extremidade, o raio é igual a 2.
→ 2º passo: escrever a equação reduzida da reta.
A equação reduzida é dada por:
(x – a) ² + ( y – b) ² = r²
Sendo (a,b) o centro da circunferência e r o raio, a equação reduzida será:
(x – (–1) ) ² + (y – 1)² = 2²
(x + 1)² + (y – 1)² = 4
→ 3º passo: desenvolver os produtos notáveis para encontrar a equação geral.
(x+1)² = x² + 2x + 1² → x² + 2x + 1
(y – 1)² = y² –2y + 1² → y² – 2y + 1
Podemos reescrever a equação da circunferência da seguinte maneira:
x² + 2x + 1 + y² – 2y + 1 = 4
Igualando a equação e ordenando por grau, teremos a seguinte equação:
x² + y² + 2x – 2y + 1 + 1 – 4 = 0
A equação geral da circunferência é:
x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0
Como encontrar o centro e raio da circunferência
Para encontrar o centro e o raio de uma circunferência por meio de sua equação geral, podemos usar o método da comparação e o método de completar quadrados.
→ Método da comparação
O método da comparação é o mais rápido quando o interesse é somente descobrir qual é o valor do raio e do centro da circunferência. Como o nosso objetivo é encontrar o valor do centro (a,b) e do raio r, dada a equação geral da circunferência, vamos comparar a sua equação geral com a equação geral de uma circunferência qualquer.
Exemplo: x² + y² – 2x – 4y – 4 =0.
Sabemos que a equação geral da circunferência é dada por:
x² + y² – 2ax – 2bx + (b² + a² – r²) = 0
Faremos uma comparação entre as duas equações:
x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = x² + y² – 2x – 4y – 4
Comparando termo a termo, podemos encontrar o valor de a sabendo que:
- 2ax = - 2x ( -1 )
2ax = 2x
2a =2
a =2: 2
a = 1
Para encontrar o valor de b, sabemos que:
- 2by = - 4y (-1)
2by = 4y
2b = 4
b = 4 : 2
b = 2
Agora, sabemos que a = 1 e b = 2, para encontrar o valor de r, vamos analisar o termo independente.
b² + a² – r² = – 4
2² + 1² – r² = – 4
4 + 1 – r² = – 4
5 – r² = – 4
– r² = – 4 – 5
– r² = – 9 ( - 1)
r² = 9
r = √9
r = 3
Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto C (1,2) e o seu raio é 3.
Leia também: Elementos do círculo e da circunferência
→ Método de completar quadrado
Esse segundo método consiste em encontrar a equação reduzida da circunferência para que seja possível encontrar o seu centro e o seu raio. Para isso, vamos completar quadrados. Completar quadrado nada mais é do que transformar a equação x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = 0 em uma equação reduzida do tipo (x – a) ² + (y – b)² = r².
Exemplo: x² + y² – 6x – 4y – 15 = 0.
Para transformar a equação geral na equação reduzida, vamos reordenar a equação geral, deixando termos de mesma variável próximos:
x² – 6x + y² – 4y – 12 = 0
Sabemos que (x – a) ² = x² – 2ax + a² e que 2ax = 6x. Agora, como 6 = 2 · 3 → a= 3, sendo a = 3, temos que:
(x – 3) ² = x² – 6x + 9
Note que o termo + 9 não aparece na equação, então vamos somar e subtrair 9 na equação geral da seguinte maneira:
x² – 6x + 9 – 9 y² – 4y – 12 = 0
(x – 3) ² – 9 + y² – 4y – 12 = 0
Analisando agora a variável y, temos que:
(y – b)² = y² – 2by +b²
Então, 2by = 4y. Sabendo que 4 = 2 · 2 → b = 2, temos que:
(y – 2)² = y² – 4y + 4
Completando o quadrado, reescreveremos a equação da seguinte maneira:
(x – 3) ² – 9 + y² – 4y + 4 – 4 – 12 = 0
(x – 3) ² – 9 + ( y – 2)² - 4 - 12 = 0
Passando os termos independentes para depois da igualdade, encontraremos a equação:
(x – 3) ² + ( y – 2)² = 9 + 4 + 12
(x – 3) ² + ( y – 2)² = 25
Sendo assim, o centro é o ponto C (3,2) e o raio r² = 25 → r= √25 = 5.
Leia também: Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
Exercícios resolvidos
1) A equação geral da circunferência que possui raio 1 e centro C( -2,0) é?
a) x² + y² + 3 =
b)(x + 2)² + y² = 1
c) (x – 2)² + y² = 1
d)x² – 2x + y² + 3 = 0
e)x² + 2x + y² + 3 = 0
Resolução:
Para encontrar a equação geral, primeiro encontraremos a equação reduzida, com a = 2 b = 0 e r = 1.
(x – a)² + (y – b) ² = r²
(x – 2)² + (y – 0)² = 1²
(x – 2)² + y² = 1
Agora, resolvendo o produto notável (x-2)²:
x² – 2x + 4 + y² = 1
Igualando a equação a zero, encontraremos:
x² – 2x + y² + 4 – 1 = 0
x² – 2x + y² + 3 = 0
Alternativa D
2) Dada a equação x² + y² + 6x – 2y + 1= 0, podemos afirmar que seu raio é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução:
Usando o método da comparação, queremos encontrar o valor do raio. Para isso, precisamos primeiro encontrar o valor de a e b.
x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = x² + y² + 6x – 2y + 1
Para descobrir o valor de a, igualaremos os termos:
– 2ax = 6x
– 2a = 6
a = 6 : (–2)
a = – 3
Agora, para o valor de b, temos que:
– 2by = – 2y ( -1)
2by = 2y
2b = 2
b= 2 : 2
b= 1
Sendo a = -3 e b = 1, então é possível encontrar o raio, pois:
b² + a² – r² = 1
1² + (-3)² – r² = 1
1 + 9 – r² = 1
10 – r² = 1
- r² = 1 – 10
- r² = – 9 ( -1 )
r² = 9
r = √9
r = 3
Alternativa C