Whatsapp icon Whatsapp

Equação geral da circunferência

 A equação geral da circunferência é objeto de estudo da geometria analítica, área da matemática que analisa o comportamento de elementos da geometria no plano cartesiano. Representar a circunferência por uma equação permite estudar essa figura de forma algébrica e também identificar o valor do seu centro e do seu raio.

Para encontrar a equação geral da circunferência com base em um gráfico, primeiro encontramos a equação reduzida e, resolvendo os produtos notáveis, chegamos à equação geral.

Veja também: O que é plano cartesiano?

A circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro.
A circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro.

Qual é a equação geral da circunferência?

A partir da equação reduzida da circunferência, encontramos a equação geral, já que ela é desenvolvida a partir do cálculo dos produtos notáveis na equação reduzida.

A equação reduzida é dada por:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Vamos desenvolver os produtos notáveis (x – a)² e ( y – b)² e encontraremos a seguinte equação:

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²

Colocando em ordem de acordo com o grau de cada termo e igualando a equação a zero, a equação geral da circunferência é:

x² + y² – 2ax 2by + (b² + a² – r²) = 0

Como encontrar a equação geral da circunferência?

Analisando a circunferência no plano cartesiano, para encontrar a equação geral, precisamos encontrar a equação reduzida e desenvolver os produtos notáveis, conforme o exemplo a seguir.

1º passo: encontrar o centro e o raio.

Analisando a circunferência, o centro é o ponto C(-1,1). Já analisando a distância do centro até a extremidade, o raio é igual a 2.

2º passo: escrever a equação reduzida da reta.

A equação reduzida é dada por:

(x – a) ² + ( y – b) ² = r²

Sendo (a,b) o centro da circunferência e r o raio, a equação reduzida será:

(x – (–1) ) ² + (y – 1)² = 2²

(x + 1)² + (y – 1)² = 4

3º passo: desenvolver os produtos notáveis para encontrar a equação geral.

(x+1)² = x² + 2x + 1² → x² + 2x + 1

(y – 1)² = y² –2y + 1² → y² – 2y + 1

Podemos reescrever a equação da circunferência da seguinte maneira:

x² + 2x + 1 + y² – 2y + 1 = 4

Igualando a equação e ordenando por grau, teremos a seguinte equação:

x² + y² + 2x – 2y + 1 + 1 – 4 = 0

A equação geral da circunferência é:

x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Como encontrar o centro e raio da circunferência

Para encontrar o centro e o raio de uma circunferência por meio de sua equação geral, podemos usar o método da comparação e o método de completar quadrados.

Método da comparação

O método da comparação é o mais rápido quando o interesse é somente descobrir qual é o valor do raio e do centro da circunferência. Como o nosso objetivo é encontrar o valor do centro (a,b) e do raio r, dada a equação geral da circunferência, vamos comparar a sua equação geral com a equação geral de uma circunferência qualquer.

Exemplo: x² + y² – 2x – 4y – 4 =0.

Sabemos que a equação geral da circunferência é dada por:

x² + y² – 2ax 2bx + (b² + a² – r²) = 0

Faremos uma comparação entre as duas equações:

+ 2ax2by + (b² + a² – r²) = + 2x4y4

Comparando termo a termo, podemos encontrar o valor de a sabendo que:

- 2ax = - 2x ( -1 )

2ax = 2x

2a =2

a =2: 2

a = 1

Para encontrar o valor de b, sabemos que:

- 2by = - 4y (-1)

2by = 4y

2b = 4

b = 4 : 2

b = 2

Agora, sabemos que a = 1 e b = 2, para encontrar o valor de r, vamos analisar o termo independente.

b² + a² – r² = – 4

2² + 1² – r² = – 4

4 + 1 – r² = – 4

5 – r² = – 4

r² = – 4 – 5

r² = – 9 ( - 1)

r² = 9

r = √9

r = 3

Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto C (1,2) e o seu raio é 3.

Leia também: Elementos do círculo e da circunferência

Método de completar quadrado

Esse segundo método consiste em encontrar a equação reduzida da circunferência para que seja possível encontrar o seu centro e o seu raio. Para isso, vamos completar quadrados. Completar quadrado nada mais é do que transformar a equação x² + y² – 2ax 2by + (b² + a² – r²) = 0 em uma equação reduzida do tipo (x – a) ² + (y – b)² = r².

Exemplo: x² + y² – 6x – 4y – 15 = 0.

Para transformar a equação geral na equação reduzida, vamos reordenar a equação geral, deixando termos de mesma variável próximos:

x² – 6x + y² – 4y – 12 = 0

Sabemos que (x – a) ² = x² – 2ax + a² e que 2ax = 6x. Agora, como 6 = 2 · 3 → a= 3, sendo a = 3, temos que:

(x – 3) ² = x² – 6x + 9

Note que o termo + 9 não aparece na equação, então vamos somar e subtrair 9 na equação geral da seguinte maneira:

x² – 6x + 9 – 9 y² – 4y – 12 = 0

(x – 3) ² – 9 + y² – 4y – 12 = 0

Analisando agora a variável y, temos que:

(y – b)² = y² – 2by +b²

Então, 2by = 4y. Sabendo que 4 = 2 · 2 → b = 2, temos que:

(y – 2)² = y² – 4y + 4

Completando o quadrado, reescreveremos a equação da seguinte maneira:

(x – 3) ² – 9 + y² – 4y + 4 – 4 – 12 = 0

(x – 3) ² – 9 + ( y – 2)² - 4 - 12 = 0

Passando os termos independentes para depois da igualdade, encontraremos a equação:

(x – 3) ² + ( y – 2)² = 9 + 4 + 12

(x – 3) ² + ( y – 2)² = 25

Sendo assim, o centro é o ponto C (3,2) e o raio r² = 25 → r= √25 = 5.

Leia também: Posição relativa entre uma reta e uma circunferência

Exercícios resolvidos

1) A equação geral da circunferência que possui raio 1 e centro C( -2,0) é?

a) x² + y² + 3 =

b)(x + 2)² + y² = 1

c) (x – 2)² + y² = 1

d)x² – 2x + y² + 3 = 0

e)x² + 2x + y² + 3 = 0

Resolução:

Para encontrar a equação geral, primeiro encontraremos a equação reduzida, com a = 2 b = 0 e r = 1.

(x – a)² + (y – b) ² = r²

(x – 2)² + (y – 0)² = 1²

(x – 2)² + y² = 1

Agora, resolvendo o produto notável (x-2)²:

x² – 2x + 4 + y² = 1

Igualando a equação a zero, encontraremos:

x² – 2x + y² + 4 – 1 = 0

x² – 2x + y² + 3 = 0

Alternativa D

2) Dada a equação x² + y² + 6x – 2y + 1= 0, podemos afirmar que seu raio é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Resolução:

Usando o método da comparação, queremos encontrar o valor do raio. Para isso, precisamos primeiro encontrar o valor de a e b.

x² + y² – 2ax 2by + (b² + a² – r²) = x² + y² + 6x – 2y + 1

Para descobrir o valor de a, igualaremos os termos:

– 2ax = 6x

– 2a = 6

a = 6 : (–2)

a = – 3

Agora, para o valor de b, temos que:

– 2by = 2y ( -1)

2by = 2y

2b = 2

b= 2 : 2

b= 1

Sendo a = -3 e b = 1, então é possível encontrar o raio, pois:

b² + a² – r² = 1

1² + (-3)² – r² = 1

1 + 9 – r² = 1

10 – r² = 1

- r² = 1 – 10

- r² = – 9 ( -1 )

r² = 9

r = √9

r = 3

Alternativa C 

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos Relacionados

Círculo
Clique aqui para saber o que é o círculo, quais são os seus principais elementos e fórmulas. Entenda a diferença entre círculo e circunferência.
Equação reduzida da circunferência
Clique aqui e aprenda como determinar a equação reduzida de uma circunferência, utilizada para representar a circunferência algebricamente.
Geometria Analítica
Você sabe o que se estuda na Geometria Analítica? Acesse o link para conhecer os principais conceitos e fórmulas da Geometria Analítica e suas aplicações.
Método de completar quadrados
Clique para aprender a resolver equações do segundo grau utilizando produtos notáveis em um método chamado: completar quadrados!
Plano cartesiano
Conheça o que é o plano cartesiano e qual a sua função. Saiba também como montar e marcar pontos nele.
Quadrado da Soma e Quadrado da Diferença
Regras práticas no desenvolvimento de produtos notáveis.
video icon
Escrito"Cigarro eletrônico faz mal mesmo?" sobre a fumaça presente em uma ilustração de cigarro eletrônico.
Química
Cigarro eletrônico, faz mal assim mesmo?
Dispositivos amplamente difundidos hoje e sem relatos concretos sobre os seus malefícios são os cigarros eletrônicos. Por mais que não saibamos de maneira clara o quão fazem mal a saúde é claro e evidente que não fazem bem! Vamos entender o seu funcionamento e desvendar o motivo pelo qual com certeza ele fazem mal a saúde.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.