Fórmulas de arco duplo

Os arcos duplos são relações trigonométricas utilizadas para calcular seno, cosseno e tangente de arcos que foram multiplicados por 2. Exemplos onde essas fórmulas podem ser usadas: sen2·30°, cos2·45° e tg2·15°. Observe que:

sen30° = 1
               2

e que:

sen2·30° = sen60° ≠ 1·1
                                2 2

As técnicas utilizadas para o cálculo de razões trigonométricas envolvendo arcos duplos são baseadas nas fórmulas de adição de arcos.

Leia também: O que são razões trigonométricas

Seno

Quando é necessário descobrir o seno da adição de dois arcos “a” e “b”, usamos a seguinte fórmula:

sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

Para encontrar uma fórmula para o seno de um arco duplo, basta fazer a = b. Assim, substituindo “b” por “a” na fórmula acima teremos:

sen(a + a) = sena·cosa + sena·cosa
sen(2a) = 2·sena·cosa

Essa é a relação usada para determinar o seno de um arco duplo.

Por exemplo: qual o valor de sen120°?

Sen120° = sen2·60° = 2·sen60°·cos60°

Sen120° = 2·√3·1
                     2  2

Sen120° = √3
                  2

Cosseno

Quando é necessário calcular o cosseno da soma entre os arcos “a” e “b”, usamos a seguinte fórmula:

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

Com o intuito de encontrar uma fórmula para o cosseno de um arco duplo, basta fazer b = a e substituir, por exemplo, “b” por “a” na fórmula acima:

cos(a + a) = cosa·cosa – sena·sena
cos(2a) = cos²a – sen²a

Ainda existem outras duas formas de apresentar essa fórmula. Para encontrá-las, lembre-se que:

sen²a + cos²a = 1
sen²a = 1 – cos²a

Substituindo esse resultado na fórmula do cosseno de um arco duplo, teremos:

cos(2a) = cos²a – sen²a
cos(2a) = cos²a – (1 – cos²a)
cos(2a) = cos²a – 1 + cos²a
cos(2a) = 2cos²a – 1

Essa é a segunda fórmula que pode ser usada para calcular o cosseno do arco duplo. A terceira pode ser obtida fazendo o seguinte:

sen²a + cos²a = 1
cos²a = 1 – sen²a

Substituindo esse resultado na primeira fórmula obtida para o cosseno de um arco duplo, teremos:

cos(2a) = cos²a – sen²a
cos(2a) = 1 – sen²a – sen²a
cos(2a) = 1 – 2sen²a

Tangente

A fórmula usada para encontrar a tangente da soma entre os arcos “a” e “b” é:

tg(a + b) =    tga + tgb
                 1 – tga·tgb

Visando determinar a fórmula utilizada para encontrar a tangente de um arco duplo, também faremos a = b e substituiremos “b” por “a” na fórmula acima:

tg(a + b) =    tga + tgb  
                 1 – tga·tgb

tg(a + a) =    tga + tga
                 1 – tga·tga

tg(2a) =     2tga    
             1 – tg²a

Resumo contendo as fórmulas de arco duplo

Exemplo: (UFF-RJ/modificada) – Qual é o valor de (sen22°30’ + cos22°30’)²?

Solução: Utilizando produtos notáveis, teremos:

(sen22°30’ + cos22°30’)²
sen²(22°30’) + 2sen22°30’cos22°30’ + cos²(22°30’)

Sabendo que sen²a + cos²a = 1, teremos:

sen²(22°30’) + 2sen22°30’cos22°30’ + cos²(22°30’)
1 + 2sen22°30’cos22°30’

E sabendo que sen(2a) = 2·sena·cosa:

1 + 2sen22°30’cos22°30’

1 + sen(2·22°30’)

1 + sen45

1 + √2
      2

Leia também: Seno, cosseno e tangente