Interpolando Termos em uma P.A.

O estudo sobre sequências numéricas desperta o conhecimento das Progressões Aritméticas ou Geométricas. As relações existentes nas progressões são estudadas e analisadas no intuito de descobrir termos, razão e soma de termos. Nosso estudo será fundamentado nas Progressões Aritméticas, dando maior ênfase na interpolação de meios aritméticos entre termos.
Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabelecer uma P.A. que possui determinado o 1º termo (a₁) e o último termo (a_n). Para interpolar os termos precisamos estabelecer a razão da P.A., para que assim possamos construí-la. Observe:

Exemplo 1

Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que a₁=7 e a₈=42.

Resolução
Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja:
a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₈ = 7 + (8 – 1)*r
42 = 7 + 7r
42 – 7 = 7r
35 = 7r
r = 35/7
r = 5

A progressão aritmética será (7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42)


Exemplo 2

Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401?
Sabemos que a sequência dos múltiplos de 4 é uma P.A. de razão 4, (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...). O que vamos analisar é essa sequência entre 101 e 401.
O primeiro múltiplo de 4 maior que 101 é o 104, então consideraremos a₁ = 104.
O último múltiplo de 4 pertencente ao intervalo é o 400, portanto a_n = 400.
De acordo com a expressão do termo geral de uma P.A., temos:

a_n = 400
a₁ = 104
r = 4
a_n = a₁ + (n – 1)*r
400 = 104 + (n – 1)*4
400 = 104 + 4n – 4
400 + 4 – 104 = 4n
300 = 4n
n = 300 / 4
n = 75

Podemos concluir que entre 101 e 401, existem 75 números múltiplos de 4.