Operações com conjuntos
As operações com conjuntos são operações matemáticas importantes para os estudos da teoria dos conjuntos. Um conjunto é estabelecido quando agrupamos elementos com as mesmas características. Existem três operações com conjuntos, são elas: a união, a intersecção a diferença. Existe também um caso particular da diferença de dois conjuntos, que resulta no conjunto complementar.
Leia também: Tipos de conjuntos — quais são eles?
Resumo sobre operações com conjuntos
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Existem três operações entre conjuntos, são elas: a união, a intersecção e a diferença.
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A união de dois conjuntos é representada por A∪B — o conjunto formado pela junção dos elementos do conjunto A e do conjunto B.
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A intersecção de dois conjuntos é representada por A∩B — o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B simultaneamente.
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A diferença entre dois conjuntos é representada por A – B — o conjunto formado pelos elementos que pertencem somente ao conjunto A.
Videoaula sobre operações entre conjuntos
Quais são as operações com conjuntos?
As operações entre dois conjuntos são a união, a intersecção e a diferença. O resultado de cada uma é também um conjunto. Veja, a seguir, como realizar cada uma delas.
→ União de conjuntos
A união de dois ou mais conjuntos é a junção de todos os elementos pertencentes a eles. Para representar a união entre os elementos do conjunto A e do conjunto B, utilizamos o símbolo ∪ entre os conjuntos, ou seja, A∪B (lê-se: A união com B). Podemos representar a união de dois conjuntos pelo diagrama de Venn:
A união de dois conjuntos no diagrama é representada pelas regiões internas do círculo do conjunto A e do círculo do conjunto B.
Exemplo:
Dado os conjuntos A = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}, como será a união entre eles, ou seja, A∪B?
Resolução:
A ∪ B= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18}.
→ Intersecção de conjuntos
A intersecção de conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que se repetem em todos os conjuntos. Representamos a intersecção pelo símbolo ∩, então, para representar a intersecção do conjunto A com o conjunto B, utilizamos A∩B. Podemos representar a intersecção entre dois conjuntos no diagrama de Venn:
No diagrama de Venn, a intersecção dos dois conjuntos é representada pela área que pertence ao conjunto A e ao conjunto B simultaneamente, na imagem, é a região destacada em vermelho.
Exemplo:
Dado os conjuntos A = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}, como será a intersecção entre eles, ou seja, A∩B?
Resolução:
→ Diferença de conjuntos
A diferença entre dois conjuntos é caracterizada pelos elementos que pertencem somente ao primeiro conjunto, por exemplo, dado o conjunto A e o conjunto B, a diferença entre eles, representada por A – B, é o conjunto de elementos que pertencem somente ao conjunto A. Veja no diagrama de Venn:
Exemplo:
Dado os conjuntos A = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}, a intersecção entre eles, ou seja, A – B será qual conjunto?
Resolução:
Para encontrar os termos que pertencem exclusivamente ao conjunto A, vamos tirar dele os elementos que pertencem também ao conjunto B, então temos que:
A – B = {3, 9, 15, 18}
Podemos calcular também a diferença entre o conjunto B e o conjunto A, ou seja:
B – A = {2, 4, 8, 10, 16}
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Conjunto complementar
O conjunto complementar é um caso particular de subtração entre conjuntos. Para compreendê-lo, antes é necessário conhecer o conjunto universo — formado por todos os elementos de um espaço amostral, por exemplo, o universo dos números entre 0 e 15:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Nele temos os subconjuntos, como os números naturais pares menores que 15.
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Ou o conjunto dos números múltiplos de 5 entre 0 e 15.
M = {0, 5, 10, 15}
Para um conjunto universo determinado, o conjunto complementar A é o conjunto U – A. O conjunto complementar de A é representado por Ac.
Exemplo:
Utilizando o universo apresentado anteriormente:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
E o conjunto P e o conjunto M:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
M = {0, 5, 10, 15}
O conjunto complementar de P em relação ao universo U é:
Pc = {1, 3, 5, 7, 11, 13, 15}
O conjunto complementar de M em relação ao universo U é:
Mc = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}
Saiba mais: Operações com frações — como resolver?
Exercícios resolvidos sobre operações com conjuntos
Questão 1
(GS - Prefeitura de Irati - Agente Administrativo - 2021) Analisando o diagrama abaixo, pelo posicionamento dos elementos 1 e 2, podemos afirmar que eles formam o conjunto:
A) conjunção de A com B.
B) universo de B.
C) união de A com B.
D) universo de A.
E) interseção de A com B.
Resolução:
Alternativa E
O conjunto formado pelos números {1, 2} tem os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B, logo, ele é a intersecção de A com B.
Questão 2
(Instituto Machado de Assis – 2018 – Prefeitura de Luís Correia – PI) Temos os conjuntos A e B, sendo A = {2, 5, 7, 9} e B = {5, 9, 11}. Qual é o conjunto formado entre A–B?
A) {11}
B) {2, 11}
C) {2, 7}
D) {5, 9}
Resolução:
Alternativa C
O conjunto A – B é formado pelos elementos que pertencem somente ao conjunto A, ou seja, que não pertencem ao conjunto B. A – B = {2, 7}.