Regra de Sarrus

A regra de Sarrus é um método utilizado para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e ordem 3. Quando estamos trabalhando com uma matriz quadrada, é possível encontrar um número associado a ela conhecido como determinante da matriz.

Quando a matriz é de ordem 2, ou seja, 2 linhas e 2 colunas, para calcular o determinante pela regra de Sarrus, basta calcular a diferença entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Quando a matriz é de ordem 3, ou seja, 3 linhas e 3 colunas, o método é um pouco mais complexo, mas ainda sim é possível encontrar o determinante utilizando a regra de Sarrus.

Leia também: Como resolver matrizes e determinantes?

Resumo sobre regra de Sarrus

• É um método para calcular determinantes de matrizes de ordem 2 e 3.

• Em uma matriz 2x2, aplicando a regra de Sarrus, temos que:

• Em uma matriz 3x3, aplicando a regra de Sarrus, temos que:

Como fazer a regra de Sarrus?

A regra de Sarrus é um método para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e ordem 3. É um dos métodos mais utilizados nesse caso. Vejamos, a seguir, como fazer a regra de Sarrus para as matrizes de ordem 2 e 3.

• Regra de Sarrus em matrizes de 2x2

Começando pelo caso mais simples, em uma matriz de ordem 2, ou seja, que possui duas linhas e duas colunas, para aplicar a regra de Sarrus, basta calcular a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária.

Em vermelho, temos a diagonal principal, e, em azul, a diagonal secundária, então, temos que:

det(A) = a₁₁ ⸳ a₂₂ – a₁₂ · a₂₁

Exemplo:

Dada a matriz A a seguir, calcule o seu determinante utilizando a regra de Sarrus:

Resolução:

Calculando o determinante da matriz, temos que:

det(A) = 4 · 3 – 5 · 2

det(A) = 12 – 10

det(A) = 2

Leia também: Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

• Regra de Sarrus em matrizes de 3x3

Quando a matriz é de ordem 3, é necessário seguir os passos a seguir.

• 1º passo: copiar as duas primeiras colunas novamente, no final da matriz.

• 2º passo: identificar os termos da diagonal principal e das outras duas diagonais paralelas a ela.

• 3º passo: calcular a soma do produto entre os termos de cada uma das diagonais.

D_p = a₁₁ · a₂₂ · a₃₃ + a₁₂ · a₂₃ · a₃₁ + a₁₃ · a₂₁ · a₃₂

• 4º passo: identificar os termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela.

• 5º passo: calcular a soma do produto de cada uma das diagonais.

D_s = a₁₃ · a₂₂ · a₃₁ + a₁₁ · a₂₁ · a₃₂ + a₁₂ · a₂₁ · a₃₃

• 6º passo: calcular a diferença entre D_p e D_s.

det(A) = D_p – D_s

det(A) = a₁₁ · a₂₂ · a₃₃ + a₁₂ · a₂₃ · a₃₁ + a₁₃ · a₂₁ · a₃₂ – (a₁₃ · a₂₂ · a₃₁ + a₁₁ · a₂₁ · a₃₂ + a₁₂ · a₂₁ · a₃₃)

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz.

Resolução:

Para calcular o determinante da matriz, copiaremos as duas colunas ao final da matriz.

Identificando as diagonais, temos que:

det(A) = 2 · 1 · 0 + 1 · 2 · 1 + 1 · 3 · (-1) – (1 · 1 · 1 + 2 · 2 · (-1) + 1 · 3 · 0)

det(A) = 0 + 2 – 3 – (1 – 4 + 0)

det(A) = -1 – (-3)

det(A) = -1 + 3

det(A) = 2

Leia também: Adição e subtração de matrizes

Exercícios resolvidos sobre regra de Sarrus

Questão 1

(Fundatec - adaptada) O valor de x na matriz A de ordem 2x2 para que det(A) = 45 é:

A) -3 e 3

B) 9 e -9

C) 4 e 5

D) 6 e -6

E) 2 e 0

Resolução:

Alternativa A

Aplicando a regra de Sarrus, temos que:

det(A) = x · x – (-3) · 12

det(A) = x² – (-36)

det(A) = x² + 36

Sabemos que det(A) = 45, então, temos que:

x² + 36 = 45

x² = 45 – 36

x² = 9

x = ± √9

x = ± 3

Questão 2

(IBFC) Considerando as matrizes A e B a seguir, então a razão entre det(A) e det(B) é igual a:

A) 4/3

B) -2

C) 3/4

D) 2

E) 1/2

Resolução:

Alternativa A

Calcularemos cada um dos determinantes utilizando a regra de Sarrus:

det(A) = 3 · 2 – 1 · (-2) = 6 + 2 = 8

det(B) = 1 · 2 – 4 · (-1) = 2 + 4 = 6

Então, a razão entre det(A) e det(B) é igual a: