Regra de Cramer

Regra de Cramer é o método utilizado para encontrar as soluções de um sistema linear. Ela é aplicada principalmente em sistemas lineares 3x3, ou seja, que possuem três equações e três incógnitas.

Para aplicarmos essa regra em um sistema linear, é necessário encontrar as matrizes associadas ao sistema, calcular o determinante das matrizes e utilizar a razão entre os determinantes para chegar ao valor de cada uma das incógnitas.

Leia também: Teorema de Laplace — método para calcular o valor do determinante de matrizes quadradas

Resumo sobre a regra de Cramer

• A regra de Cramer é usada na resolução de sistemas lineares.

• Utilizamos as matrizes associadas ao sistema para aplicar a regra de Cramer.

• Dado um sistema de equações, a regra de Cramer define que:

• D, D_x, D_y e D_z são os determinantes das matrizes associadas ao sistema. 

Videoaula sobre a regra de Cramer

O que é a regra de Cramer?

Regra de Cramer é um método utilizado para encontrar o conjunto solução de um sistema de equação linear possível determinado. Essa regra utiliza o determinante das matrizes associadas ao sistema para encontrar as soluções do sistema. O método é aplicado principalmente em sistemas lineares que possuem 3 incógnitas e 3 equações, mas pode ser empregado também em sistemas lineares 2 por 2.

Como usar a regra de Cramer

A seguir, temos um sistema linear com 3 linhas e 3 colunas:

No sistema, é possível aplicar a regra de Cramer. Para isso, de início calcularemos o determinante da matriz incompleta D.

Também calcularemos D_x, que é o determinante da matriz incompleta, substituindo a primeira coluna pelos termos independentes d₁, d₂ e d₃.

 e  são os determinantes das matrizes incompletas, que substituem, respectivamente, a segunda e a terceira coluna pelos termos independentes.

Pela regra de Cramer, conhecendo os valores dos determinantes anteriores, temos que:

Logo, perceba que quando o sistema possui solução, é possível encontrar os valores de x, y e z utilizando a regra de Cramer.

Leia também: Regra de Sarrus — método para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e 3

Solução de sistemas usando a regra de Cramer

Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer para sistemas lineares 2x2 e 3x3.

• Solução de sistemas 2x2

Quando o sistema linear é 2x2, há apenas duas variáveis, como no exemplo:

Para resolver esse sistema aplicando a regra de Cramer, de início calcularemos o determinante D:

Agora, calcularemos :

Como conhecemos os valores de , podemos encontrar o valor de cada uma das incógnitas:

• Solução de sistemas 3x3

Vejamos agora um exemplo da regra de Cramer aplicada a um sistema 3x3.

Pela regra de Cramer, temos que:

Calculando :

Calculando :

Calculando :

Calculando os valores de x, y e z:

Então, temos que ,  e .

Leia também: Como resolver matrizes e determinantes?

Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer

Questão 1

Sobre a Regra de Cramer, marque a alternativa correta:

A) A regra de Cramer é um método desenvolvido para calcular determinantes de matrizes de ordem 2 e ordem 3.

B) A regra de Cramer é um método desenvolvido para calcular a matriz inversa quando ela existir.

C) A regra de Cramer é um método desenvolvido para calcular uma matriz transposta.

D) A regra de Cramer é um método desenvolvido para calcular as soluções de sistemas lineares.

Resolução:

Alternativa D

A regra de Cramer foi desenvolvida como um método que nos auxilia a calcular soluções de sistemas lineares.

Questão 2

Analisando o exemplo a seguir, podemos afirmar que a soma dos valores de x + y que satisfazem o sistema é igual a:

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Resolução:

Alternativa C

Utilizaremos regra de Cramer para encontrar o valor de x + y.

Primeiramente, calcularemos o valor de D:

D =

D =

D =

D = - 10

Sabemos que x + y + z = 7 analisando a primeira linha do sistema. Assim, se encontrarmos o valor de z, encontraremos o valor de x + y. Logo, calculando :

Então, temos que:

Sabendo que z = 1: