Whatsapp icon Whatsapp

Sistemas lineares de equações: método da substituição

O método da substituição é uma das técnicas usadas para resolver sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas cada.
O método da substituição é uma das técnicas para solucionar sistemas de equações
O método da substituição é uma das técnicas para solucionar sistemas de equações

Em Matemática, recebe o nome de sistema um conjunto de equações em que as variáveis representadas por uma mesma letra possuem o mesmo valor. Uma das formas mais conhecidos e usadas para encontrar os valores numéricos dessas incógnitas é o método da substituição. Por esse método, encontramos o valor algébrico de uma das incógnitas para, em seguida, substituirmos esse valor na outra equação.

Os sistemas com duas equações e duas incógnitas são representados por uma equação sobre a outra dentro de uma “{”, como no exemplo a seguir:

 

Exemplo de sistema com duas equações e duas incógnitas

Nesse exemplo, temos que x = 20 e y = 10 para ambas as equações.

Para demonstrar como encontrar resultados de sistemas pelo método da substituição, faremos o seguinte passo a passo:

 

Solução de sistemas pelo método da substituição

Passo 1: Escolher uma incógnita e calcular seu valor algébrico.

O valor algébrico é encontrado quando uma incógnita é isolada. Qualquer incógnita, em qualquer uma das equações, pode ser escolhida, entretanto, escolher uma incógnita com coeficiente 1 facilita muito os cálculos.

Observe, por exemplo, o sistema abaixo. Nele, optamos por encontrar o valor algébrico da incógnita y na primeira equação.

Valor algébrico de y

Passo 2: Substituir o valor algébrico da incógnita na outra equação.

É muito importante que essa substituição seja feita na equação que ainda não foi usada, pois, só assim o resultado será encontrado. No caso do exemplo, como usamos a primeira equação para calcular o valor algébrico de y, então usaremos a segunda equação para substituir esse valor. Assim, onde aparecer y, colocaremos (40 – 2x) no lugar:

Substituição de incógnitas

Passo 3: Calcular o valor numérico de uma das incógnitas.

Observe que, ao substituir o valor numérico de y na segunda equação do exemplo, o resultado foi uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Por meio da resolução dessa equação, encontraremos o valor numérico de x.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

1ª Obs.: Sempre que escolhermos uma incógnita para encontrar o valor algébrico, a outra terá seu valor numérico revelado primeiro.

2ª Obs.: Se o valor algébrico de y for substituído na mesma equação usada para encontrá-lo, o resultado será algo do tipo 0 = 0 ou 1 = 1.

Valor numérico de x

Passo 4: Substituir o valor numérico de x em qualquer uma das duas equações e encontrar o valor numérico de y.

Sugerimos que a equação com coeficientes menores seja escolhida para facilitar os cálculos. No exemplo, escolhemos a primeira equação:

Valor numérico de y

A solução dos sistemas geralmente é representada por um par ordenado ou pela notação de conjuntos com a mesma ordem dos pares ordenados: S = {x,y}. No caso do exemplo acima: S = {15, 10}.

2º Exemplo: Encontre a solução do sistema a seguir:

Exemplo de sistema

Solução: Primeiramente, escolha uma incógnita para isolar. Para esse sistema, isolaremos y na primeira equação. Observe os cálculos na seguinte imagem:

Isolando y na primeira equação

Por meio dos passos 2 e 3, substitua y na outra equação e encontre o valor numérico de x, como na imagem:

Valor numérico de x no segundo exemplo

Após encontrar o valor numérico de x, escolha uma das equações para cumprir o quarto e último passo: obter o valor numérico de y. Escolhemos, para isso, a primeira equação. Observe:

Solução final do sistema

A solução desse sistema é S = {5, 2}.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Classificação de um sistema linear
Conceitos utilizados para classificar um sistema linear.
Condições para equivalência de sistemas
Condições para equivalência, uma análise dos coeficientes das equações que compõem o sistema linear. Compreendendo as condições para equivalência de um sistema linear.
Definição de módulo de um número real
módulo, o que módulo, o que é valor absoluto, como encontrar o módulo de um número real, número real, valor negativo, valor positivo, módulo de um número real, valor absoluto de um número real.
Equação do 1° grau
Clique aqui e descubra o que é uma equação do 1° grau. Aprenda como resolvê-la. Confira exercícios resolvidos sobre o tema.
Equações Literais
Você sabe o que são as equações literais? Clique aqui e aprenda como resolvê-las.
Equivalência de sistemas lineares
Conceituação sobre equivalência de sistemas lineares. Como comparar dois sistemas e concluir que eles são equivalentes.
Escalonamento de Sistemas
Transformando sistemas em matrizes completas visando técnicas de escalonamento.
Operações entre Conjuntos
Operações da intersecção, união e diferença entre conjuntos.
Regra de Cramer
Aprenda o que é a regra de Cramer e como utilizá-la para encontrar as soluções de um sistema linear. Confira ainda exemplos e exercícios resolvidos.
Sistema com Três Variáveis
Resolução de Sistema de Equações.
Sistema de Equações do 2º Grau
Resolvendo um sistema de equações do 1º e do 2º grau.
Sistema de equação
Sistema, Equação de 1º grau com duas incógnitas, equação, Adição, Método da adição, Método da substituição, Incógnita, Substituição, Solução de um sistema, Sistema de equação.
Sistemas de Equações: Método da Comparação
Resolução de sistemas utilizando o método da comparação.
Sistemas e Equações Lineares
Definições e exemplos de equações lineares e sistemas lineares.
video icon
Escrito"Função Seno com Geogebra" sobre fundo bege e amarelo.
Matemática
Função Seno com Geogebra
Nesta aula utilizaremos o software gratuito geogebra para mostrar as possíveis variações da função seno. Analisaremos o eixo central, a amplitude, o máximo e mínimo, a imagem e o período da função seno.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.