Velocidade angular

A velocidade angular é a relação entre o ângulo formado em um deslocamento circular e o tempo necessário para formá-lo. Ela é característica do movimento do tipo circular, uniforme (velocidade constante) ou uniformemente variado (com a variação da velocidade). Quando se tem um deslocamento circular, a cada segundo o ângulo formado pode aumentar ou diminuir. Essa variação do valor do ângulo chama-se deslocamento angular.

Outro fator decorrente do movimento circular é que a cada volta completa, o trajeto se repete, logo, formam-se os ciclos. A quantidade de ciclos formados em um segundo recebe o nome de frequência, e o tempo gasto para a formação de um ciclo completo é chamado de período. A velocidade angular está diretamente relacionada com a velocidade linear, sendo diretamente proporcionais e coexistentes no movimento circular.

Leia também: Aceleração centrípeta — o tipo de aceleração característico de movimentos circulares

Resumo sobre a velocidade angular

• A velocidade angular é a razão entre o deslocamento angular e o tempo necessário para que ele ocorra.

• Um ciclo no movimento circular equivale à formação de um círculo completo, ou seja, uma volta de 360°.

• O período no movimento circular equivale ao tempo necessário para o deslocamento de um ciclo.

• A frequência é a quantidade de ciclos formados em um segundo.

• O período e a frequência são inversamente proporcionais.

• A velocidade angular é a razão entre a velocidade linear e o raio do círculo formado no deslocamento.

O que é velocidade angular?

A velocidade angular é a razão entre o deslocamento angular e o tempo necessário para que ele ocorra. Isso implica relacionar qual foi o aumento ou a redução do ângulo formado no movimento circular e o tempo que foi gasto para que essa variação da medida do ângulo ocorra.

Qual a fórmula da velocidade angular?

A velocidade angular (ω), como já foi dito, é a razão entre o deslocamento angular (Δθ) e o tempo (t) necessário para que ele ocorra. Pelo sistema internacional de unidades, o deslocamento angular deve ser medido em radianos (rad), e o tempo, em segundo (s). Logo, a velocidade angular será medida em radianos por segundo (rad/s).

\(\omega=\frac{∆θ}{t}\)

\(∆θ=θ_f-θ_i\)

O deslocamento angular é a diferença entre o ângulo formado no final (θ_f) do trajeto e o ângulo formado no início (θ_i). Os ângulos na Matemática geralmente são medidos em graus (°), logo, quando isso ocorrer, é necessário que haja uma conversão, sendo que 1 radiano equivale a aproximadamente 57,29°. Porém, o mais comum é relacionar o valor de pi radianos (π rad = 3,14 rad) a graus da forma apresentada a seguir.

\(\pi\ rad=180°→3,14\ rad=180°\)

Veja um exemplo:

João se deslocou o equivalente a 270° em uma curva. Qual seria esse deslocamento em radianos?

Resposta:

Para resolver esse problema, basta utilizar a regra de três.

\(3,14\ rad\ — 180°\)

\(x\ rad\ — 270°\)

Multiplicando cruzado:

\(180\cdot x=3,14\cdot270\)

\(x=\frac{847,8}{180}=4,71\ rad\)

Como se calcula a velocidade angular?

A velocidade angular é calculada dividindo o deslocamento angular pelo tempo gasto para que ele ocorra.

Exemplo: Uma partícula carregada é imersa em um campo magnético descrevendo um movimento circular. Os físicos registraram que ela demorou 6 segundos para se deslocar do ângulo 0,21 radianos até a posição 1,41 radianos. Calcule a velocidade angular dessa partícula.

Resposta

Extraindo os dados:

• t = 6 s

• θi = 0,21 rad

• θ_f = 1,41 rad

• ω = ?

Calcula-se, primeiramente, o deslocamento angular e, em seguida, a velocidade angular.

\(∆θ=θ_f-θ_i=1,41-0,21=1,2\ rad\)

\(\omega=\frac{∆θ}t=\frac{1,2}{6}=0,2\ rad/s\)

Período e frequência

A frequência (f) é a quantidade de voltas completas dadas no tempo de um segundo, e sua unidade de medida é o hertz (Hz). O período (T) é o tempo necessário para uma volta completa em uma circunferência ser dada, ou seja, para formar 360° (ou 2π rad), e, por se tratar de tempo, sua unidade de medida é o segundo (s). A frequência e o período são inversamente proporcionais, se relacionando como é demonstrado a seguir.

\(T=\frac{1}{f}\ ou\ f=\frac{1}{T}\)

A relação entre a velocidade angular com a frequência e o período é dada nas fórmulas a seguir.

\(\omega=2\cdot\pi\cdot f\ ou\ \omega=\frac{2\cdot\pi}{T}\)

Outra unidade de medida da frequência é a rotação por minuto (rpm), cuja relação com a medida hertz está disposta a seguir.

\(f_{Hz}=\frac{f_{rpm}}{60}\)

Saiba mais: Velocidade, período e frequência no MCU

Velocidade angular x velocidade escalar

A velocidade angular está relacionada com a variação de um ângulo formado durante o movimento circular, porém, para que o movimento circular ou retilíneo ocorra, há a presença da velocidade linear v, que é sempre tangencial ao movimento circular. A velocidade angular é diretamente proporcional à velocidade linear e inversamente proporcional ao raio (R) do deslocamento.

\(\omega=\frac{v}{R}\rightarrow v=\omega\cdot R\)

A figura a seguir representa a relação entre as velocidades angular e linear e a frequência.

Exercícios resolvidos sobre velocidade angular

Questão 1

Eduardo trabalha com marcenaria, e uma de suas ferramentas é um tico-tico, que consiste em uma serra pequena que realiza um movimento contínuo de subida e descida. O motor que proporciona esse efeito gira com frequência de 60 KHz. Sabendo que o raio desse motor é de 8 mm, qual é o valor aproximado da velocidade linear do ciclo?

a) 5422 m/s

b) 3·10³ m/s

c) 9·10^-5 m/s

d) 4,26·10² m/s

e) 0,004 m/s

Resposta

Letra B

Extraindo os dados do exercício:

• f = 60 KHz = 60·10³ Hz (K é o prefixo quilo, que vale 10³ = 1000)

• R = 8 mm = 8·10^-3 m (o m, quando aparece antes de uma unidade de medida, representa o prefixo mili, que vale 10^-3 = 0,001)

• v = ?

Primeiramente, é necessário calcular a velocidade angular utilizando a fórmula que a associa com a frequência:

\(\omega=2\cdot\pi\cdot f\ \)

\(\omega=2\cdot3,14\cdot60\cdot{10}^3=376,8\cdot{10}^3rad/s\ \ \ \)

Em seguida, associam-se as velocidades linear e angular:

\(v=\omega\cdot R=376,8\cdot{10}^3\cdot8\cdot{10}^{-3}=3014,4\frac{m}{s}\approx3\cdot{10}^3m/s\)

Questão 2

O planeta Thedus (fictício) possui velocidade angular de rotação de 1·10^-4 rad/s. Considerando π com valor igual a 3, marque a alternativa que corresponde à quantidade de tempo, em horas, de um dia nesse planeta.

a) Mais de 16 horas.

b) Menos de 12 horas.

c) Exatamente 20 horas.

d) Menos de 15 horas.

e) Mais de 21 horas e menos de 25 horas.

Resposta

Letra A

Extraindo os dados:

• ω = 1·10^-4 rad/s

• π = 3

• T = ?

O exercício procura saber o tempo de um dia no planeta, o que equivale ao tempo necessário para uma volta completa em torno do seu próprio eixo, logo, um ciclo completo, e o tempo gasto para um ciclo completo é o período T. A fórmula que relaciona a velocidade angular e o período é:

\(\omega=\frac{2\cdot\pi}{T}\)

\(1·10-4=\frac{2\cdot3}T\)

\(1·10-4=\frac{6}T\)

Trocam-se as posições para isolar a incógnita:

\(T\ =\frac{6}{1·10^{-4}}=6\cdot10^4\ s\)

Como a velocidade é medida em rad/s, o tempo foi encontrado em segundos. Para convertê-lo em horas a fim de calcular o tempo de duração de um dia, deve-se dividir o valor encontrado por 3600.

\(T_{dias}=\frac{6\cdot{10}^4\ }{3600}=\frac{60000}{3600}=16,66\ h\)