Whatsapp icon Whatsapp

Concavidade da parábola

A concavidade da parábola, determinada pelo coeficiente A da equação do segundo grau, pode ser voltada para baixo ou para cima.
As parábolas são representações gráficas das funções do segundo grau
As parábolas são representações gráficas das funções do segundo grau

Uma função do segundo grau pode ser representada graficamente, no plano cartesiano, por meio de uma parábola. Funções do segundo grau são aquelas escritas na forma: f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais, chamados coeficientes, e x é a variável da função. Os coeficientes de uma função do segundo grau têm relação direta com o formato da parábola. O coeficiente a, por exemplo, determina a sua concavidade.

Concavidade da parábola

Toda parábola que representa uma função do segundo grau, da forma como foi descrita anteriormente, possui concavidade voltada para cima ou voltada para baixo. Essa direção é determinada pelo valor do coeficiente a dessa função:

Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

O que é concavidade?

As funções do segundo grau sempre são representadas por uma parábola, de acordo com uma das duas alternativas a seguir:

1 – A parábola é uma curva que possui um ponto mais alto chamado vértice, isto é, qualquer outro ponto da curva tem uma coordenada y inferior à coordenada y do vértice. Como as parábolas possuem duas “pernas”, nesse caso, elas apontam para baixo. Assim, a concavidade dessa parábola é voltada para baixo. A imagem a seguir mostra uma parábola com concavidade voltada para baixo e, portanto, com o coeficiente a negativo.

2 – A parábola é uma curva que possui ponto mais baixo, também chamado vértice. Em outras palavras, qualquer outro ponto dessa parábola terá uma coordenada y maior que a coordenada y do vértice dessa figura. Nesse caso, as “pernas” da parábola apontarão para cima e poderemos dizer que a parábola possui concavidade voltada para cima.

A imagem a seguir mostra uma parábola com concavidade voltada para cima e, portanto, com o coeficiente a positivo.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Emprego da concavidade

A partir do que se sabe sobre a concavidade de uma parábola, é possível determinar, com maior facilidade, “onde essa parábola é positiva” ou “onde ela é negativa”. Em outras palavras, é possível descobrir qual o intervalo no eixo x que faz com que as imagens da função sejam números maiores que zero, iguais a zero ou inferiores a zero.

Para tanto, será necessário encontrar as raízes x1 e x2 da função. Encontrando-as e analisando o coeficiente a, pode-se ter, como resposta, uma das seguintes alternativas:

1 – Se a função possui duas raízes reais e distintas.

a) Se o coeficiente a for positivo, a concavidade da parábola estará voltada para cima. Como essa função possui duas raízes, a parábola toca o eixo x em dois pontos: x1 e x2.

Observe que a porção da função abaixo do eixo x (com coordenada y < 0) fica entre os pontos x1 e x2. Logo, se x1 < x < x2, então a função é negativa. Caso contrário, a função é positiva.

b) Se o coeficiente a for negativo, concluímos de forma análoga a anterior, que, se x1 < x < x2, então a função é positiva. Caso contrário, a função é negativa.

2 – Se a função possui apenas uma raiz real.

a) Se o coeficiente a for positivo, a função será completamente positiva, exceto pelo vértice, que será nulo – pois será raiz da função.

b) Caso contrário, a função será negativa, exceto também pelo vértice, pois ele será uma raiz da função e, dessa forma, será neutro, isto é, nem positivo nem negativo.

3 – Se a função não possui raízes reais.

a) Se o coeficiente a for positivo, toda a função será positiva.

b) Se o coeficiente a for negativo, toda a função será negativa.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos Relacionados

Cinco passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau
Aprenda a construir o gráfico de uma função do 2º grau em cinco passos!
Condição de Existência do Gráfico de uma Função do 2º Grau
Conhecendo a representação gráfica de uma função do 2º grau.
Conjunto dos números reais
Acesse e descubra quais são os elementos que compõem o conjunto dos números reais.
Função do 2º grau ou função quadrática
Entenda o que é uma função quadrática e aprenda a construir o gráfico desse tipo função. Veja como calcular o vértice e as raízes dessa função.
Gráfico: Função de 2º grau
Construção do gráfico de uma equação do 2º grau.
Propriedades de uma função
Função, tipos de função, propriedade da função, função bijetora, função sobrejetora, função injetora, características de uma função, características de uma função sobrejetora, características de uma função injetora, características de uma função bijetora.
Sinal da Função do 2º Grau
Estudando o sinal de uma função do 2º grau.
video icon
Escrito"A origem da língua portuguesa" sobre uma representação de vários aspectos relacionados à origem da língua portuguesa.
Português
A origem da língua portuguesa
O português é falado por mais de 250 milhões de pessoas no mundo todo. É o oitavo idioma mais falado do mundo, e está presente em 4 continentes. Mas você já se perguntou como surge uma língua? De onde surgiu a língua portuguesa? Por que falamos português?

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.