Concavidade da parábola

Uma função do segundo grau pode ser representada graficamente, no plano cartesiano, por meio de uma parábola. Funções do segundo grau são aquelas escritas na forma: f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais, chamados coeficientes, e x é a variável da função. Os coeficientes de uma função do segundo grau têm relação direta com o formato da parábola. O coeficiente a, por exemplo, determina a sua concavidade.

Concavidade da parábola

Toda parábola que representa uma função do segundo grau, da forma como foi descrita anteriormente, possui concavidade voltada para cima ou voltada para baixo. Essa direção é determinada pelo valor do coeficiente a dessa função:

Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

O que é concavidade?

As funções do segundo grau sempre são representadas por uma parábola, de acordo com uma das duas alternativas a seguir:

1 – A parábola é uma curva que possui um ponto mais alto chamado vértice, isto é, qualquer outro ponto da curva tem uma coordenada y inferior à coordenada y do vértice. Como as parábolas possuem duas “pernas”, nesse caso, elas apontam para baixo. Assim, a concavidade dessa parábola é voltada para baixo. A imagem a seguir mostra uma parábola com concavidade voltada para baixo e, portanto, com o coeficiente a negativo.

2 – A parábola é uma curva que possui ponto mais baixo, também chamado vértice. Em outras palavras, qualquer outro ponto dessa parábola terá uma coordenada y maior que a coordenada y do vértice dessa figura. Nesse caso, as “pernas” da parábola apontarão para cima e poderemos dizer que a parábola possui concavidade voltada para cima.

A imagem a seguir mostra uma parábola com concavidade voltada para cima e, portanto, com o coeficiente a positivo.

Emprego da concavidade

A partir do que se sabe sobre a concavidade de uma parábola, é possível determinar, com maior facilidade, “onde essa parábola é positiva” ou “onde ela é negativa”. Em outras palavras, é possível descobrir qual o intervalo no eixo x que faz com que as imagens da função sejam números maiores que zero, iguais a zero ou inferiores a zero.

Para tanto, será necessário encontrar as raízes x₁ e x₂ da função. Encontrando-as e analisando o coeficiente a, pode-se ter, como resposta, uma das seguintes alternativas:

1 – Se a função possui duas raízes reais e distintas.

a) Se o coeficiente a for positivo, a concavidade da parábola estará voltada para cima. Como essa função possui duas raízes, a parábola toca o eixo x em dois pontos: x₁ e x₂.

Observe que a porção da função abaixo do eixo x (com coordenada y < 0) fica entre os pontos x₁ e x₂. Logo, se x₁ < x < x₂, então a função é negativa. Caso contrário, a função é positiva.

b) Se o coeficiente a for negativo, concluímos de forma análoga a anterior, que, se x₁ < x < x₂, então a função é positiva. Caso contrário, a função é negativa.

2 – Se a função possui apenas uma raiz real.

a) Se o coeficiente a for positivo, a função será completamente positiva, exceto pelo vértice, que será nulo – pois será raiz da função.

b) Caso contrário, a função será negativa, exceto também pelo vértice, pois ele será uma raiz da função e, dessa forma, será neutro, isto é, nem positivo nem negativo.

3 – Se a função não possui raízes reais.

a) Se o coeficiente a for positivo, toda a função será positiva.

b) Se o coeficiente a for negativo, toda a função será negativa.