Cinco passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau

Funções do segundo grau são regras, baseadas em polinômios de grau 2 de uma variável, que relacionam cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro. Assim como toda função, é possível construir sua representação gráfica no plano cartesiano. Toda equação do segundo grau possui como gráfico uma parábola.

As funções do segundo grau geralmente são apresentadas, em sua forma normal, da seguinte maneira:

y = ax² + bx + c

Essa é a regra que relaciona os elementos “x” de um conjunto aos elementos “y” de outro. Dessa maneira, “x” é chamado de variável independente e “y” é chamado de variável dependente. Geralmente, tanto o primeiro conjunto, conhecido como domínio, quanto o segundo, denominado de contradomínio, são números reais ou algum subconjunto deles.

As parábolas são figuras geométricas planas e, por isso, devem ser construídas no plano cartesiano. Dessa maneira, é necessário encontrar de 3 a 5 pontos, utilizados para construir o “esqueleto” da parábola, antes de desenhá-la.

→ Primeiro passo: Calcular o valor de ∆

Para realizar o primeiro passo, basta separar os valores dos coeficientes “a”, “b” e “c”, substituí-los na fórmula do discriminante e realizar os cálculos. Essa fórmula é a seguinte:

∆ = b2 – 4ac

→ Segundo passo: Encontrar as coordenadas do vértice

O vértice de uma parábola é o seu ponto mais baixo ou o seu ponto mais alto, por isso, também é conhecido como ponto de máximo ou ponto de mínimo. Para calcular as coordenadas do vértice, substitua os valores numéricos dos coeficientes “a”, “b” e “c” nas seguintes fórmulas:

x_v = – b  e y_v = – ∆  
        2a             4a

O vértice será o ponto V = (x_v, y_v). Esse é o primeiro ponto que deve ser marcado no plano cartesiano para a construção do gráfico da função y = ax² + bx + c.

→ Terceiro passo: Encontrar as raízes (quando possível)

Outros dois pontos que devem ser marcados no gráfico de uma função do segundo grau são as suas raízes, quando existirem.

Tendo em mãos o valor de ∆, utilize a fórmula de Bháskara para encontrá-las. Essa fórmula é a seguinte:

x = – b ± √∆
          2a

Sabendo que as raízes de uma função são os valores de x quando y = 0, os dois pontos obtidos no cálculo acima serão: A = (x', 0) e B = (x'', 0).

→ Quarto passo: Calcular pontos (quase) aleatórios

Para terminar de construir o esqueleto da função do segundo grau, é bom obter outros pontos para valores quaisquer de x.

Sugerimos a escolha de um ponto C à esquerda de xv e outro ponto E à direita. Para tanto, escolha um número qualquer menor que xv e calcule o valor de y referente a ele. Posteriormente, escolha um número qualquer maior que xv e calcule o valor de y referente a ele. Esse último passo é de extrema importância para funções que não possuem raízes.

→ Quinto passo: Desenhar o gráfico

Tendo em mãos os pontos A, B, C, D, E e V, marque-os no plano cartesiano e complete o desenho da parábola, tendo em mente as observações seguintes:

Observações importantes:

1 – O valor do coeficiente “a” define a direção da concavidade da parábola, isto é, se a parábola estará voltada para cima ou para baixo. Para tanto, basta observar o seguinte:

Se a > 0, a parábola volta-se para cima e, por isso, possui um valor de mínimo.

Se a < 0, a parábola volta-se para baixo e, por isso, possui um valor de máximo.

2 – O valor do coeficiente “c” determina o ponto em que a parábola toca o eixo y. Para perceber isso, basta observar que, se x = 0, então:

y = ax² + bx + c

y = a·0² + b·0 + c

y = c

Logo, o ponto encontrado é E = (0, c), que é justamente o ponto citado acima.

3 – Imagine uma reta que passa pelo vértice de uma parábola e é paralela ao eixo y. Essa reta é o eixo de simetria da parábola.

Exemplo:

Construa o gráfico da função do segundo grau: y = – x² – x – 3.

Pelas observações anteriores, já sabemos que a parábola referente a essa função toca o eixo y no ponto E = (0, – 3) e que ela se volta para baixo.

Primeiro passo: O valor do discriminante

a = – 1, b = – 1 e c = – 3

∆ = b² – 4ac

∆ = (– 1)² – 4·(– 1)·(– 3)

∆ = 1 – 12

∆ = – 11

Como ∆ < 0, a função não possui raízes.

Segundo passo: As coordenadas do vértice

Utilizando as fórmulas dadas anteriormente, calcularemos as coordenadas do vértice:

x_v = – b  
        2a

x_v = – (– 1) 
        2(– 1) 

x_v = 1 
     –2

x_v = – 1 
         2

y_v = – ∆  
        4a

y_v = – (– 11)
        4(– 1)

y_v = 11 
      –4

y_v = – 11 
          4

Portanto, o ponto V = (– 1  , – 11 )
                                 2        4

Como essa função não possui raízes, é preciso pular o terceiro passo.

Quarto passo: Escolheremos os valores -1 e 1 para “x” a fim de encontrar seus respectivos correspondentes “y”. Para tanto, basta substituir esses valores na função, um a um. Observe:

Se x = – 1, teremos:

y = – (– 1)² – (– 1) – 3

y = – 1 + 1 – 3

y = – 3

Se x = 1, teremos:

y = – (1)² – (1) – 3

y = – 1 – 1 – 3

y = – 5

Portanto, os dois pontos encontrados foram: C = (– 1, – 3) e D = (1, – 5).

Finalize marcando os pontos V, E, C e D no plano cartesiano e desenhando a parábola posteriormente.

Pontos C, D, E e V marcados no plano cartesiano e o gráfico da função y