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Função do 2º Grau ou Função Quadrática

A função do 2º grau (também chamada de função quadrática) traz o expoente 2 em sua incógnita, sendo escrita por meio da função f(x) = ax² + bx + c. Para que essa função seja válida, é necessário que a, b e c pertençam ao conjunto dos números reais e a deve ser diferente de zero.

Veja também: Função no Enem

Definição

A equação do 2º grau é determinada pelo expoente 2 que estiver na incógnita. Por exemplo:

x² + 5x + 8 = 0 (equação do 2º grau)

x² + 9 = 0 (equação do 2º grau)

A forma de encontrar o valor da incógnita x na equação de 2º grau é mediante a fórmula de Bhaskara.

A fórmula de Bhaskara é utilizada para resolver a função do 2º grau.
A fórmula de Bhaskara é utilizada para resolver a função do 2º grau.

Bhaskara foi um matemático (professor, astrólogo, astrônomo) muito dedicado, depois de vários estudos ele nos trouxe, de forma bem resumida, a solução geral da equação do 2º grau, que se resume basicamente em:

x = – b ± √Δ
      2a

Δ = b2 – 4·a·c

Mas de onde vieram as letras a, b e c que estão descritas na fórmula? É só analisar a equação em si:

ax² + bx + c = 0

Assim, a representa qualquer número que esteja multiplicando x², b é o número que multiplica a incógnita x e c é o número sozinho.

Cada equação apresenta uma característica quando representada em um gráfico. A equação do 1º grau, por exemplo, é uma reta, portanto, ela encontra o eixo x apenas em um ponto (justamente o valor de “x” encontrado na equação). Já a equação do 2º grau tem a característica de ser uma parábola, encontrando em dois pontos do eixo x, por isso, temos duas respostas da equação e as chamamos de raízes da função.

Sendo uma parábola, é necessário encontrar os valores do vértice, ou seja, o “ponto de virada” da parábola.

O x do vértice é dado pela fórmula:

Xv = – b
         2a

E o y do vértice é o resultado da fórmula:

Yv = – Δ
        4a

Leia também: Diferenças entre função e equação

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Na prática, funciona da seguinte forma:

Exemplo 1:

x² + 2x – 4 = 0

Passo 1: Identificar a, b e c:

a = 1
b = +2
c = –4

Passo 2: Achar o valor de Δ na fórmula:

Δ= b² – 4ac
Δ= 2² – 4.2.(–4)
Δ = 4 – 8.(–4)
Δ = 4 + 32
Δ = 36

Passo 3: Encontrar os valores de x (as raízes da função):

x = – b ± √Δ
      2a

x = – (+2) ± √36
      2.1

x = – 2 ± 6
      2

x’= – 2 + 6
     2

x’=  4
      2

x’= 2

x”= – 2 –6
       2

x’’= – 8
       2

x”=  – 4


Passo 4: Encontrar x e y do vértice:

Xv = – b
        2a

Xv = – 2
        2.1

Xv = – 2
        2

Xv = – 1

Yv = – 36
         4.1

Yv = – 36
         4

Yv = – 9

Passo 5: Montar o gráfico da função:

Com os valores de x’ = 2; x” = 4; Xv = 1; Yv = 9, a parábola fica da seguinte forma:

Obs.: Quando o sinal que acompanha a incógnita x² for positivo, é uma parábola que está com a concavidade voltada para cima.                  

Exemplo 2:

–2x² – 2x + 12 = 0

Passo 1: Identificar a, b e c:

a = –2
b = –2
c = 12

Passo 2: Achar o valor de Δ na fórmula:

Δ= b² – 4ac
Δ= (–2)² – 4.(–2).(12)
Δ = 4 – 4.(–24)
Δ = 4 + 96
Δ = 100

Passo 3: Encontrar os valores de x (as raízes da função):

x = – b ± √Δ
      2a

x = – (+2) ± √100
      2.(–2)

x = – 2 ± 6
      –4

x’ = 2 + 10
       –4

x’ = 12
       –4

x’ = –3

x” = – 2 –10
       –4

x’’ = – 12
        –4

x’ =  3


Passo 4: Encontrar x e y do vértice:

Xv = – b
        2a

Xv = – (– 2)
        (–2)

Xv = – 1

Yv = – 100
        4.(–2)

Yv = – 100
            (–8)    

Yv = + 12,5

Passo 5: Montar o gráfico da função:

Com os valores de x’ = 3; x” = 3; Xv = 1; Yv =12, 5, a parábola fica da seguinte forma:

Obs.: Quando o sinal que acompanha a incógnita x² for negativo, é uma parábola que está com a concavidade voltada para baixo.

Leia mais: Relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau

Exercícios resolvidos sobre função do 2º grau:

1) Analise a seguinte equação, encontre suas raízes e monte o gráfico.

3x² – 4x – 13 = 0

Resolução

Passo 1: Identificar a, b e c:

a = 3
b = –4
c = –13

Passo 2: Achar o valor de Δ na fórmula:

Δ= b² – 4ac
Δ= (–4)² – 4.(3).( –13)
Δ = 16 + 156
Δ = 172

Passo 3: Encontrar os valores de x (as raízes da função):

x = – b ± √Δ
      2a

x = – (–4) ± √172
      2.(3)

x = 4 ± 13,11
      6

x’ = 4 + 13,11
      6

x’ = 17,11
       6

x’ = 2,851

x” = 4 –13,11
        6

x’’ = 9,11
       6

x’ =  1,518


Passo 4: Encontrar x e y do vértice:

Xv = – b
        2a

Xv = – (– 4)
         2(3)

Xv = – (– 4)
        6

Xv =  4 
        6

Xv = 0,666

Yv = – 172
         4.3

Yv = – 172
           12    

Yv = 14,33

Passo 5: Montar o gráfico da função:

Com os valores de x’ = 2,851; x” = 1,518; Xv = 0,666; Yv = –14,33, a parábola fica da seguinte forma:

Leia tambémCinco passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau

Publicado por: Danielle Guilherme
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Lista de Exercícios

Questão 1

Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0

Questão 2

Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0

Mais Questões
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