Dízima periódica

Números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração. Lembrando que frações são divisões entre números inteiros com o denominador diferente de zero. Os números que podem ser escritos na forma de fração são: os próprios números inteiros, os decimais finitos e as dízimas periódicas.

As dízimas periódicas são decimais infinitos que, a partir de alguma casa após a vírgula, passam a repetir determinada sequência de algarismos de forma infinita. Essa repetição é indicada por reticências, como mostram os exemplos a seguir:

2,666666…

13,454545…

12,3210652652652…

No primeiro caso, note que apenas um algarismo repete-se após a vírgula. No segundo, há a repetição de dois algarismos. Já no terceiro existem quatro algarismos quaisquer antes de se iniciar a repetição de três algarismos.

O período de uma dízima periódica é formado pelos algarismos que se repetem nela. Portanto, na dízima 23,5656565…, o período é 56. Quando a dízima possui alguns algarismos antes do período, esses algarismos são chamados de antiperíodo. Por exemplo, na dízima 12,321559559…, o período é 559, e o antiperíodo é 321.

Toda dízima periódica é um número racional e, por isso, pode ser escrita na forma de fração. A fração que representa uma dízima periódica é chamada de fração geratriz, e existem alguns métodos para encontrá-la. A seguir, discutiremos o método prático para determinar dízimas simples e compostas.

Veja também: O que é fração geratriz?
 

Dízima periódica simples

É qualquer dízima periódica que não possui antiperíodo. Para escrevê-la na forma de fração, basta seguir o passo a passo:

1 – Escreva a dízima como uma soma de sua parte inteira com sua parte decimal;

2 – Da parte decimal, determine o número de algarismos do período;

3 – Escreva a fração na qual o numerador é o período e o denominador possui todos os algarismos iguais a 9 (a quantidade de algarismos 9 é exatamente a mesma quantidade de elementos do período);

4 – Some a esse resultado a parte inteira da dízima inicial, deixando a solução final na forma de fração.

Por exemplo: 25,333333…

O período é 3, a parte inteira é 25, e a parte decimal é 0,3333… Logo:

25 + 0,33333…

25 + 3
        9

225 + 3
  9      9

228
9

Dízima periódica composta

É aquela que possui um antiperíodo. Para escrevê-la em forma de fração pelo método prático, basta seguir o passo a passo:

1 – Escreva a dízima como uma soma da parte inteira com a parte decimal;

2 – Da parte decimal, determine a quantidade de algarismos do período e do antiperído;

3 – O numerador da fração geratriz é composto pela diferença entre o número formado pelos algarismos do antiperíodo seguidos dos algarismos do período e o número formado pelos algarismos do antiperíodo;

4 – O denominador será formado pelos algarismos 9 e 0. A quantidade de 9 é igual à quantidade de elementos do período. A quantidade de 0 é igual à quantidade de algarismos do antiperíodo;

5 – Some a fração obtida com a parte inteira da dízima.

Exemplo: 2,12321321321…

2 + 0,12321321321…

2 + 12321 – 12
        99900

2 + 12309
     99000

199800 + 12309
99900

212109
99900