Números irracionais

Conhecemos como números irracionais os que não podem ser representados como uma fração. Acontece que, anteriormente à descoberta dos números irracionais, os números eram apresentados como racionais, já que se pensava que todo número poderia de alguma forma ser representado como uma fração. No entanto, ao deparar-se com as raízes não exatas, percebeu-se que o conjunto dos números racionais não englobava todos os números conhecidos, surgindo, a partir daí, a necessidade de um novo conjunto chamado de conjunto dos números irracionais.

O conjunto dos números irracionais é composto pelas dízimas não periódicas e as raízes não exatas. Existem números irracionais, como o π, que são bastante conhecidos, utilizamos esse símbolo para representar o número, já que ele é uma dízima não periódica.

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Conjunto dos números irracionais

O estudo dos números irracionais foi feito inicialmente pelos pitagóricos, acontece que, ao desenvolver-se o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos medindo 1, foi encontrada a √2, que é um número que não pode ser exibido na forma de fração.

A inquietação que esse número trouxe para os matemáticos da época tornou necessária a criação de um novo conjunto numérico. O conjunto dos números racionais não era suficiente para representar todos os números, logo, criou-se o conjunto dos números irracionais. Também surgiu daí o conjunto dos números reais, que nada mais é que a união entre os números irracionais e racionais.

O que são os números irracionais?

Um número irracional é aquele que satisfaz a definição, ou seja, um número que não pode ser representação como fração. Os números irracionais são:

• As raizes não exatas: quando um número natural não possui raiz exata, ele é considerado um número irracional. Acontece que se formos procurar a resposta para a radiciação, encontraremos uma dízima não periódica, então as raízes não exatas são números irracionais.

• Dízimas não periódicas: existem várias e várias dízimas não periódicas. As mais comuns são para calcular a raiz não exata de um número. Veja as raízes a seguir.

Esse número é conhecido como dízima não periódica, porque em sua parte decimal não existe uma repetição que permite que a gente preveja o próximo número.

Existem outras dízimas não periódicas bastante comuns no dia a dia, uma delas é o número π, utilizado para cálculos envolvendo círculo e circunferência. Até mesmo sólidos que são compostos por essas figuras planas, como cilindros, utilizam o número π constantemente. Ele é um número irracional, e, por isso, utilizamos o símbolo para representá-lo.

Sendo uma dízima não periódica, o valor das 10 primeiras casas decimais de π é: 3,1415926535... São conhecidas mais casas decimais de acordo com a necessidade de precisão nos dados, é bastante comum considerar muitas casas decimais de π para realização de cálculos envolvendo longas distâncias, seja na química, seja na física, seja na própria matemática.

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Número racional e irracional

A união dos dois conjuntos, ou seja, a união dos números racionais com os números irracionais, forma o conjunto conhecido como conjunto dos números reais. Então, se um número real for escolhido ao acaso, ele pode ser racional ou irracional.

Vale lembrar que se trata de conceitos diferentes, já que o número racional é aquele que pode ser representado como uma fração, e o irracional é um número que não pode ser representado como uma fração; é impossível que um número seja irracional e racional ao mesmo tempo.

Os números racionais são as frações, os números inteiros, os números decimais e também as dízimas periódicas.

Exemplo:

A dízima 5,1111111… é uma dízima periódica, já que sua parte decimal possui um período, o que faz dele um número racional, pois é possível encontrar-se uma fração que representa essa dízima, conhecida como fração geratriz.

Outros números racionais são os próprios números decimais exatos, como 1,75, entre outros, e os números inteiros, como o 5 ou o -5, entre outros. O que deve ficar claro é que os números que podem ser representados como uma fração são racionais.

Note que a dízima 2,11459725…. é uma dízima não periódica, que não há um período na sua parte decimal, o que faz com que ela seja considerada um número irracional, já que é impossível representá-la como uma fração.

Operações entre números irracionais

Realizar as quatro operações básicas entre números irracionais nem sempre vai gerar um número irracional como resposta. Pode ser que a resposta dessas operações seja um número natural ou um número inteiro ou até mesmo um número racional.

Não há muito segredo nas operações com esses números. Geralmente, devido à limitação nas contas, quando o número irracional é um número decimal, realizar as operações só é possível quando utilizamos uma aproximação para esses números. Nosso interesse maior está em quando esse número é uma raiz quadrada não exata.

Exemplos:

• Soma e subtração

√2 + √3 → Essa operação fica somente indicada, não é possível realizar a soma a menos que utilizemos uma aproximação para esses valores, o que não é do nosso interesse ao estudarmos números racionais. A única forma que temos de simplificar é se os valores do radical forem o mesmo.

√3 - √2 → A ideia da subtração é a mesma, não é possível realizá-la a menos que utilizemos uma aproximação.

• Multiplicação e divisão

√2 · √3 = √6 → Na multiplicação, podemos realizar o produto conservando a raiz quadrada.

√8 : √2 = √4 = 2 → A divisão é análoga à multiplicação, ou seja, dividimos os radicandos e conservamos a raiz. Nesse caso, perceba que a divisão de dois números irracionais gerou um número natural.

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Exercícios resolvidos

Questão 1 – Sobre os números irracionais, julgue as afirmativas a seguir:

I – A divisão de dois números irracionais sempre será um número irracional.

II – Toda dízima é um número irracional.

III – Um número não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo.

Analisando as afirmativas, marque a alternativa correta.

A) Somente I é verdadeira.

B) Somente II é verdadeira.

C) Somente III é verdadeira.

D) Somente I e II são verdadeiras.

E) Somente II e III são verdadeiras.

Resolução

Alternativa C

I – Falsa

Ao realizar-se as operações básicas entre dois números irracionais, a resposta nem sempre será um número irracional.

II – Falsa

Toda dízima não periódica é irracional, porém as dízimas periódicas são racionais.

III – Verdadeira

Um número real é racional ou irracional.

Questão 2 – Observe os números a seguir:

I) 3,141414….

II) 4,1234510

III) 2π

IV) 1,12349093...

São números irracionais:

A) Somente I e II.

B) Somente III e IV.

C) Somente I e III.

D) Somente II e IV.

E) Somente II, III e IV.

Resolução

Alternativa B

I – Racional

Dízimas periódicas são números racionais.

II – Racional

Note que esse número é um decimal exato, e números decimais exatos são racionais.

III – Irracional

π é irracional, e o produto dele por dois continha sendo irracional.

IV – Irracional

Dízimas não periódicas são sempre números irracionais.