Equação geral da reta

A equação geral da reta é estudada na geometria analítica, que busca traduzir, por meio de uma equação, o comportamento de algumas figuras geométricas quando representadas no plano cartesiano, entre elas a reta. A equação geral da reta é uma maneira de descrever o comportamento da reta de forma algébrica.

Para encontrar a equação geral da reta, conhecendo dois pontos da reta, calculamos o determinante da matriz que tem como linha as coordenadas desses pontos e igualamos a zero. Ao calcular esse determinante, encontramos a equação geral da reta. O gráfico de uma reta, quando representado no plano cartesiano, pode ser crescente ou decrescente. A equação geral da reta é: ax + by + c = 0.

Leia também: Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano

Resumo sobre a equação geral da reta

• É uma forma de descrever a reta algebricamente.
• É a equação ax + by + c = 0.
• Para encontrá-la conhecendo os pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B), calculamos o determinante:

\(\left|\begin{matrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|\ =\ 0\ \)

Afinal, qual é a equação geral da reta?

A equação geral da reta é a que descreve, de forma algébrica, o comportamento da reta quando ela é representada no plano cartesiano. Dado os pontos (x, y), esses pontos pertencem à reta se respeitarem a equação geral da reta:

\(ax\ +\ by\ +\ c\ =\ 0\)

Exemplos:

• \( 2x+3y\ –10=0\)
• \( -x+y+4=0\)
• \( 2x+3y=0\)

Como se constrói a equação geral da reta

Conhecendo as coordenadas de dois pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) pertencentes à reta, podemos então encontrar a equação geral da reta calculando o determinante:

\(\left|\begin{matrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0\ \)

Exemplo 1:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 4) e B(3, 7).

Resolução:

Calculando o determinante e igualando ele a zero, temos que:

\(\left|\begin{matrix}2&4&1\\3&7&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0\)

\(2\cdot7\cdot1+4\cdot1\cdot x+1\cdot3\cdot y-1\cdot7\cdot x-2\cdot1\cdot y-4\cdot3\cdot1=0\)

\(14+4x+3y-7x-2y-12=0\)

Então a equação geral da reta é:

\(-3x+y+2=0\)

Exemplo 2:

Analise a reta apresentada no plano cartesiano a seguir:

Encontre a equação da reta r.

Resolução:

Analisando o gráfico, podemos destacar os pontos A(2, 1) e B(5, 4). Então calcularemos o determinante igualado a zero:

\(\left|\begin{matrix}2&1&1\\5&4&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0\)

\(2\cdot4\cdot1+1\cdot1\cdot x+1\cdot5\cdot y-1\cdot4\cdot x-2\cdot1\cdot y-1\cdot5\cdot1=0\)

\(8+x+5y-4x-2y-5=0\)

\(-3x+3y+3=0\)

Note que todos os termos são múltiplos de 3, logo, podemos dividir todos os elementos por 3, encontrando a equação geral da reta:

\(-x+y+1=0\)

Gráfico da equação geral da reta

Para encontrar o gráfico da equação de determinada reta, é necessário encontrar dois pontos. Ao marcar os dois pontos no plano cartesiano, pode-se fazer o esboço do gráfico da equação traçando a reta que passa por esses dois pontos. Vejamos um exemplo a seguir.

Exemplo:

Construa o gráfico da reta que tem equação geral 2x + y – 1 = 0.

Resolução:

Conhecendo a equação da reta, para representá-la no gráfico, basta encontrarmos dois pontos pertencentes a essa equação. Atribuiremos um valor numérico qualquer para x e encontraremos o seu correspondente em y.

Seja x = 1, temos que:

\(2x+y\ –1=0 \)

\(2\cdot1+y-1=0\ \)

\(2+y-1=0\)

\(y+1=0\ \)

\(y=-1\)

Então sabemos que o ponto A(1, -1) pertence à reta. Agora, vamos atribuir outro valor qualquer para o x e encontrar um segundo ponto pertencente à reta.

Seja x = 0, temos que:

\(2x+y\ –1=0 \)

\(2\cdot0+y\ –1=0 \)

\(y\ –1=0 \)

\(y=1\ \) 

Desse modo, o ponto B(0, 1) também pertence à reta.

Agora, marcaremos esses dois pontos no plano cartesiano e traçaremos a reta que passa por eles.

Exercícios resolvidos sobre a equação geral da reta

Questão 1

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 1) e B(4, 7) é:

A) 3x + 2y – 5 = 0

B) x + 2y – 10 = 0

C) 6x + y + 10 = 0

D) -3x + y + 5 = 0

E) 3x – y – 5 = 0

Resolução:

Alternativa D

Dados os pontos A e B, calcularemos o determinante, e, igualando-o a zero, temos que:

\(\left|\begin{matrix}2&1&1\\4&7&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|\ =\ 0\)

\(2\cdot7\cdot1+1\cdot1\cdot x+1\cdot4\cdot y-1\cdot7\cdot x-2\cdot1\cdot y-1\cdot4\cdot1=0\)

\(14+x+4y-7x-2y-4=0\)

\(-6x+2y+10=0\)

Note que todos os termos são múltiplos de 2, dividindo toda a equação por 2, temos que:

\(-3x+y+5=0\)

Questão 2

Analise a equação geral da reta \(4x+y-5=0\). São pontos pertencente à reta:

A) (2, 0)

B) (3, -3)

C) (1, -1)

D) (-1, 9)

E) (0, -5)

Resolução:

Alternativa D

Para verificar se o ponto pertence à equação, vamos substituir o valor de x e de y e verificar se a equação é verdadeira:

A) (falsa) \(2\cdot2+0-5=4-5=-1\)

B) (falsa) \(4\cdot3+3-5=12-2=10\)

C) (falsa) \(4\cdot1-1-5=0-5=-5\)

D) (verdadeira) \(4\cdot\left(-1\right)+9-5=-4+9-5=0\)

E) (falsa) \(4\cdot0-5-5=0-5-5=-10\)