Círculo

O círculo é uma região plana formada por todos os pontos cuja distância entre cada um deles e o centro do círculo é igual ou inferior ao seu raio de medida r. Para determinar um círculo, é necessário especificar qual seu ponto central e a medida de seu raio. A partir do raio de um círculo, é possível calcular seu perímetro e também sua área. O círculo também pode ser definido a partir de uma circunferência de mesmo centro e raio e todos os pontos interiores a ela.

Leia também: Como calcular a distância entre dois pontos

Resumo sobre círculo

• O círculo é o conjunto de todos os pontos cuja distância de cada um até o centro da figura possui uma medida igual ou menor que o raio dela.
• Os principais elementos do círculo são o centro e o raio.
• O perímetro de um círculo de raio r é calculado por \(C=2\cdot\pi\cdot r\).
• A área de um círculo de raio r é dada por \(A=\pi\cdot r^2\).
• O círculo pode ser definido a partir de uma circunferência de mesmo centro e raio e por todos os pontos que estão no interior dela.

O que é círculo?

Círculo é uma figura geométrica plana formada pelo conjunto de todos os pontos cuja distância até um ponto fixo de origem O é igual ou menor que uma certa medida r  fornecida.

Para determinar um círculo, é necessário estabelecer inicialmente qual será o ponto central O . Depois, fixa-se uma medida de comprimento r e determina-se o conjunto de todos os pontos que possuem uma distância até o ponto O  igual a essa medida r. Por fim, considera-se como parte do círculo qualquer ponto cuja distância até o ponto O  tenha medida igual ou menor que r .

Pode-se denotar um círculo de centro O  e raio r por c(O,r).

Quais são os elementos do círculo?

Sabendo que o centro do círculo e a medida de seu raio são essenciais para determinar os pontos que fazem parte dessa figura, destaca-se a seguir tais elementos.

Na figura acima, tem-se a representação dos principais elementos do círculo, sendo eles:

• centro: o ponto O presente no centro da figura;
• raio: a medida de comprimento r representada pelos segmentos \(\overline{OB} \ e\ \overline{OA}\);
• diâmetro: segmento de reta que contém o ponto central da figura, representado pelo segmento \(\overline{AB}\). Corresponde ao dobro da medida do raio r;

Veja também: O que é uma esfera?

Fórmulas do círculo

Assim como ocorre com outras figuras geométricas planas, o círculo possui fórmulas que determinam seu perímetro e área. Veja essas fórmulas a seguir.

→ Perímetro do círculo

O perímetro do círculo corresponde à medida do comprimento da circunferência dessa figura. Esse comprimento está relacionado à medida do raio r do círculo e é determinado por:

\(C=2\cdot\pi\cdot r\)

Exemplo:

Determine o perímetro de um círculo cujo raio mede 5 cm. Utilize π = 3,14.

A partir da medida do raio do círculo, pode-se utilizar a fórmula acima e determinar seu perímetro:

\(C=2\cdot\pi\cdot r=2\cdot3,14\cdot5=31,4\ cm\)

→ Área do círculo

A área do círculo corresponde à medida da superfície ocupada por essa figura no plano. A área de um círculo cujo raio possui uma medida r  é dada pela seguinte relação:

\(A=\pi\cdot r^2\)

Exemplo:

Calcule a área de um círculo que possui 12 cm de raio. (Utilize π = 3,14)

Utilizando a fórmula da área apresentada e considerando r = 12, tem-se:

\(A=\pi\cdot r^2=3,14\cdot{12}^2=3,14\cdot144=452,16\ cm^2\)

Saiba mais: Outras diferenças fundamentais entre círculo e circunferência

Diferenças entre círculo e circunferência

Por mais que o círculo e a circunferência sejam determinados por meio de seu centro e a medida de seu raio r, os dois não correspondem a uma mesma figura geométrica. Como definido anteriormente, o círculo é formado por todos os pontos cuja distância até seu ponto fixo central O é igual ou menor que uma certa medida de raio r. Assim, formalmente é dito que um ponto P pertence ao círculo se

\(d\left(O,P\right)\le r\)

Já uma circunferência é a união de todos os pontos cuja distância até seu ponto central O é exatamente igual à medida de seu raio r. Logo, um ponto P pertence à circunferência se

\(d\left(O,P\right)=r\)

Assim, um círculo é formado por pontos cuja distância até seu centro é igual a r ou menor que essa medida. Na imagem abaixo, essas duas situações ocorrem com os pontos P₁ e P₂, respectivamente. Já em uma circunferência, obrigatoriamente os pontos que a formam devem ter uma distância até seu centro de medida exatamente igual a r, como ocorre na figura abaixo com o ponto P.

Portanto, pode-se considerar que o círculo corresponde a uma circunferência de mesmo centro e raio e todos os pontos interiores a ela.

→ Videoaula sobre círculo e circunferência

Exercícios resolvidos sobre círculo

Questão 1

Uma pessoa mediu o perímetro de uma pizza em formato circular que acabou de comprar e chegou a um valor de 157 cm .

Considere π = 3,14.

Qual é a medida, em centímetros, do raio dessa pizza?

a) 7

b) 13

c) 25

d) 50

Resolução:

Sabe-se que o perímetro de um círculo equivale ao comprimento da circunferência de mesmo raio. Assim, o raio da pizza pode ser calculado por:

\(C=2\cdot\pi\cdot r\)

\(157=2\cdot3,14\cdot r\)

\(\frac{157}{6,28}=r\)

\(r=25\ cm\)

A alternativa correta é a alternativa c).

Questão 2

Qual a medida da área ocupada por um disco em formato circular, em centímetros quadrados, cujo diâmetro mede 16 cm ? Considere π=3,14 .

a) 50,24

b) 200,96

c) 615,44

d) 803,84

Resolução

Sabe-se que o diâmetro do círculo é equivalente ao dobro da medida de seu raio. Assim,

\(Diâmetro=2\cdot raio\)

\(d=2\cdot r\)

\(16\ cm=2\cdot r\rightarrow r=8\ cm\)

Encontrada a medida do raio do disco circular, pode-se calcular sua área da seguinte forma:

\(A=\pi\cdot r^2=3,14\cdot8^2=3,14\cdot64=200,96cm^2\)

A alternativa correta é a alternativa b).

Fontes

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.

REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. 2. ed. Campinas, São Paulo: Unicamp, 2008.