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Esfera

A esfera é o sólido geométrico formado por todos os pontos que estão a uma distância igual ou menor que o seu raio no espaço. No cotidiano, existem vários objetos esféricos.
Quatro esferas coloridas sobre uma superfície plana.
A esfera é um importante sólido geométrico presente no nosso cotidiano.

Esfera, estudada na geometria espacial, é um corpo redondo que é o conjunto de pontos no espaço que estão a uma distância igual ou menor que a distância r em relação ao centro O da esfera. Podemos observar alguns objetos esféricos no dia a dia, como uma laranja e outras frutas, o globo ocular, e as bolas utilizadas para a prática de esportes como o vôlei e o futebol.

Leia também: Cilindro — outro corpo redondo estudado na geometria espacial

Resumo sobre esfera

  • A esfera é um sólido geométrico classificado como um corpo redondo e é estudada na geometria espacial.

  • Dado um ponto O e uma distância r, a esfera é o conjunto de pontos que estão a uma distância igual ou menor que r do ponto O.

  • Os principais elementos de uma esfera são o centro e o comprimento do seu raio.

  • Outros elementos importantes dela são: polos, equador, paralelos e meridiano.

  • A fórmula da área da superfície da esfera é:

\(A=4πr^2\)

  • Para calcular o volume da esfera, usa-se:

\(V=\frac{4}3 πr^3\)

  • Suas partes são: hemisfério, fuso esférico, cunha esférica e calota esférica.

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O que é uma esfera?

A esfera é um corpo redondo estudado na geometria espacial. Podemos observar objetos esféricos no nosso cotidiano, como no formato de frutas, no formato do nosso globo ocular e também em bolas de vários esportes, como sinuca, futebol e vôlei. A esfera é definida pelo conjunto de pontos que estão a uma distância igual ou menor a r do centro O.

Quais são os elementos da esfera?

Os principais elementos da esfera são o centro e o comprimento do seu raio. O centro é um ponto que representaremos por O e o comprimento do seu raio será representado por r.

 Ilustração representando os principais elementos de uma esfera: centro e comprimento do raio.
Circunferência de centro O e raio r.

Existem outros elementos importantes na esfera, que recebem nome específico, são eles os polos, o equador, os paralelos, e o meridiano.

Ilustração de outros importantes elementos da esfera: os polos, o equador, os paralelos, e o meridiano.

  • Polos: representados na imagem pelos pontos P1 e P2, os pontos em que a superfície da esfera se encontra com o eixo central.

  • Equador: é a maior circunferência obtida na esfera quando a interceptamos por um plano na horizontal.

  • Paralelo: é qualquer circunferência obtida na esfera ao ser interceptada por um plano na horizontal.

  • Meridiano: é qualquer circunferência obtida na esfera ao ser interceptada por um plano na vertical.

Veja também: Elementos do círculo e da circunferência

Como calcular a área da esfera?

Para calcular a área da superfície da esfera, é necessário conhecer a medida do seu raio. A fórmula da área da esfera é:

Fórmula da área da esfera.
Fórmula da área da esfera.

Exemplo:

Qual é a área de uma esfera que possui raio medindo 5 cm?

(Use π = 3)

Resolução:

Calculando a área, temos que:

\(A=4πr^2\)

\(A=4⋅3⋅5^2\)

\(A=4⋅3⋅25\)

\(A=12⋅25\)

\(A=300\ cm^2\)

Como calcular o volume da esfera?

Para calcular o volume da esfera, é necessário conhecer a medida do seu raio. A fórmula do volume da esfera é:

Fórmula do volume da esfera.
Fórmula do volume da esfera.

Exemplo:

Qual é o volume de uma esfera que possui raio medindo 5 cm?

(Use π = 3)

Resolução:

\(V=\frac{4}3⋅π⋅r^3\)

\(V=\frac{4}3⋅3⋅5^3\)

\(V=\frac{4}3⋅3⋅125\)

\(V=4⋅125\)

\(V=500\ cm^3\)

Quais são as partes da esfera?

Podemos dividir a esfera em algumas partes: o hemisfério, a cunha esférica, o fuso esférico e a calota esférica.

  • Hemisfério: é obtido quando dividimos a esfera ao meio, logo, trata-se da metade da esfera. Podemos observar esse nome no dia a dia quando nos referimos à divisão da Terra em dois hemisférios: o Norte e o Sul.

 Hemisfério, obtido quando dividimos uma esfera ao meio.
Quando dividimos uma esfera ao meio, as partes são conhecidas como hemisférios.
  • Fuso esférico: é a parte da superfície de uma esfera. Note que, no fuso, somente a superfície da esfera é considerada. Isso é o que diferencia o fuso esférico da cunha esférica, pois o fuso é uma área, é parte apenas da superfície da esfera.

Fuso esférico, a parte da superfície da esfera.
O fuso esférico é a parte da superfície da esfera.
  • Cunha esférica: é um sólido geométrico obtido quando giramos uma semicircunferência em torno do diâmetro da esfera. Note que a cunha, diferentemente do fuso, é um sólido geométrico. Agora não consideramos somente uma parte da superfície da esfera, mas uma parte inteira da esfera, é como se fosse um gomo.

Cunha esférica, um sólido geométrico obtido quando giramos uma semicircunferência em torno do diâmetro da esfera.
A cunha esférica é um sólido geométrico.
  • Calota esférica: é a parte da esfera formada quando a interceptamos com um plano, e esse plano divide a figura em duas partes.

 Calotas esféricas, as duas partes da esfera formadas quando a interceptamos com um plano e a dividimos.
A calota esférica é obtida quando a dividimos por um plano.

Saiba também: Tronco do cone — o sólido geométrico formado pela parte inferior de um cone após ser seccionado paralelamente à base

Exercícios resolvidos sobre esfera

Questão 1

Uma esfera possui área da superfície medindo 47.628 cm². Utilizando 3 como aproximação para π, a medida do diâmetro dessa esfera é:

A) 63 cm

B) 72 cm

C) 86 cm

D) 120 cm

E) 126 cm

Resolução:

Alternativa E

Como conhecemos a área da superfície dessa esfera, temos que:

\(A=47.628\)

\(47.628=4⋅3⋅r^2\)

\(47.628=12r^2\)

\(\frac{47.628}{12}=r^2\)

\(3969=r^2\)

\(r=\sqrt{3969}\)

\(r=63\)

Como o raio é de 63 cm, então o diâmetro é de 63 + 63 = 126 cm.

Questão 2

Um recipiente esférico possui raio medindo 9 cm. A medida do volume desse recipiente, em centímetros cúbicos, é de:

A) 81 π

B) 243 π

C) 635 π

D) 972 π

E) 1200 π

Resolução:

Alternativa D

Calculando o volume, temos que:

\(V=\frac{4}3 πr^3\)

\(V=\frac{4}{3} π⋅9^3\)

\(V=\frac{4}{3}⋅π⋅729\)

\(V=4π⋅243\)

\(V=972\ π\)

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

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