Volume do Cone

Para calcular o volume do cone, é necessário calcular o produto entre a área da base e a sua altura e dividir por três. O cone é um sólido geométrico classificado como corpo redondo devido a sua forma arredondada, que é uma consequência da sua base ser formada por um círculo.

Quando rotacionamos um triângulo em torno dele mesmo, é possível também encontrar o cone. Por isso, outra classificação comum é a de sólido de revolução, que tem o mesmo significado que corpo redondo. O cone possui elementos importantes, que são o vértice, a base, o raio da base, a geratriz e a altura.

Leia também: Geometria espacial — área da Matemática que estuda os sólidos geométricos

Videoaula sobre volume do cone

Elementos do cone

O cone é conhecido como corpo redondo ou sólido de revolução, sendo encontrado a partir da rotação de um triângulo.

Os principais elementos do cone são:

• vértice;

• base;

• altura do cone;

• raio da base;

• geratriz do cone.

Primeiro vamos ver o vértice e a base de um cone, indicados na imagem a seguir:

Vejamos também o raio da base, a geratriz e a altura do cone:

h → altura

r→ raio

g → geratriz

No cone, uma propriedade importante que pode aparecer em problemas envolvendo volume é a relação pitagórica entre a geratriz, o raio da base e a altura do cone:

g² = h² + r²

Leia também: Quais as diferenças entre as figuras planas e as figuras espaciais?

Fórmula do volume do cone

Para calcular o volume de um cone, calculamos o produto entre a área da base e a altura e dividimos por 3.

A_b → área da base

h → altura

V → volume

Sabemos que a base do cone é sempre formada por um círculo, e a área do círculo é calculada por A_círculo = πr². Substituindo na fórmula do volume do cone como área da base, temos que:

V → volume

r → raio da base do cone

h → altura

Como calcular o volume do cone?

Para calcular o volume de um cone, é necessário conhecer a sua altura e o seu raio.

Exemplo 1:

Calcule o volume do cone a seguir (use π = 3,1):

Dados:

r = 5 cm

h = 12 cm

π = 3,1

Substituindo na fórmula do volume do cone, temos que:

Exemplo 2:

Um cone possui diâmetro da base medindo 12 cm e a sua geratriz é igual a 10 cm. Então, o seu volume é igual a? (Use π = 3,14.)

Para calcular o volume, precisamos do raio e da altura. Conhecendo o diâmetro, sabemos que o raio é igual ao diâmetro dividido por dois:

r = d : 2

r = 12 : 2

r = 6 cm

Conhecemos também o valor da geratriz (g = 10 cm). Para encontrar a altura h, aplicaremos o teorema de Pitágoras:

g² = h² + r²

10² = h² + 6²

100 = h² + 36

100 – 36 = h²

64 = h²

h² = 64

h = √64

h = 8 cm

Conhecendo a altura e o raio e usando π = 3,14, calcularemos o volume:

Veja também: Quais as diferenças entre círculo e circunferência?

Volume do cilindro e o volume do cone

Ao realizar a comparação entre um cilindro e um cone, quando a base do cilindro e a base do cone possuem a mesma medida, o volume do cone sempre é um terço do volume do cilindro.

Exercícios resolvidos sobre volume do cone

Questão 1 - (Enem - 2015 - Segunda aplicação) Ao perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada.

Qual é a profundidade, em metros, desse poço?

A) 1,44

B) 6,00

C) 7,20

D)8,64

E)36,00

Resolução

Alternativa B.

Seja r o raio do cilindro, então o raio do cone será 3r. Sabemos que a altura do cone é de 2,4 m, então calculando o volume do cone, temos que:

O volume do cilindro é dado por:

V_cilindro = πr²h

Sabemos que o cone possui 20% a mais de volume que o cilindro:

V_cone = 1,2 V_cilindro

Questão 2 - (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

Utilize 3 como aproximação para π.

O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é

A)6

B)16

C)17

D)18

E)21

Resolução

Alternativa D.

O volume de um silo é igual à soma do volume do cilindro com o volume do cone.

Dados:

• altura do cone = 3 metros

• raio do cone = 3 metros

• altura do cilindro = 12 metros

• raio do cilindro = 3 metros

• π = 3

Calcularemos o volume do silo:

Como o caminhão tem capacidade para 20 m³, realizaremos a divisão do volume total do silo pelo volume do caminhão:

351 : 20 = 17,55

Serão necessárias pelo menos 18 viagens.