Fórmulas de arco duplo
Os arcos duplos são relações trigonométricas utilizadas para calcular seno, cosseno e tangente de arcos que foram multiplicados por 2. Exemplos onde essas fórmulas podem ser usadas: sen2·30°, cos2·45° e tg2·15°. Observe que:
sen30° = 1
2
e que:
sen2·30° = sen60° ≠ 1·1
2 2
As técnicas utilizadas para o cálculo de razões trigonométricas envolvendo arcos duplos são baseadas nas fórmulas de adição de arcos.
Leia também: O que são razões trigonométricas
Seno
Quando é necessário descobrir o seno da adição de dois arcos “a” e “b”, usamos a seguinte fórmula:
sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa
Para encontrar uma fórmula para o seno de um arco duplo, basta fazer a = b. Assim, substituindo “b” por “a” na fórmula acima teremos:
sen(a + a) = sena·cosa + sena·cosa
sen(2a) = 2·sena·cosa
Essa é a relação usada para determinar o seno de um arco duplo.
Por exemplo: qual o valor de sen120°?
Sen120° = sen2·60° = 2·sen60°·cos60°
Sen120° = 2·√3·1
2 2
Sen120° = √3
2
Cosseno
Quando é necessário calcular o cosseno da soma entre os arcos “a” e “b”, usamos a seguinte fórmula:
cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb
Com o intuito de encontrar uma fórmula para o cosseno de um arco duplo, basta fazer b = a e substituir, por exemplo, “b” por “a” na fórmula acima:
cos(a + a) = cosa·cosa – sena·sena
cos(2a) = cos2a – sen2a
Ainda existem outras duas formas de apresentar essa fórmula. Para encontrá-las, lembre-se que:
sen2a + cos2a = 1
sen2a = 1 – cos2a
Substituindo esse resultado na fórmula do cosseno de um arco duplo, teremos:
cos(2a) = cos2a – sen2a
cos(2a) = cos2a – (1 – cos2a)
cos(2a) = cos2a – 1 + cos2a
cos(2a) = 2cos2a – 1
Essa é a segunda fórmula que pode ser usada para calcular o cosseno do arco duplo. A terceira pode ser obtida fazendo o seguinte:
sen2a + cos2a = 1
cos2a = 1 – sen2a
Substituindo esse resultado na primeira fórmula obtida para o cosseno de um arco duplo, teremos:
cos(2a) = cos2a – sen2a
cos(2a) = 1 – sen2a – sen2a
cos(2a) = 1 – 2sen2a
Tangente
A fórmula usada para encontrar a tangente da soma entre os arcos “a” e “b” é:
tg(a + b) = tga + tgb
1 – tga·tgb
Visando determinar a fórmula utilizada para encontrar a tangente de um arco duplo, também faremos a = b e substituiremos “b” por “a” na fórmula acima:
tg(a + b) = tga + tgb
1 – tga·tgb
tg(a + a) = tga + tga
1 – tga·tga
tg(2a) = 2tga
1 – tg2a
Resumo contendo as fórmulas de arco duplo
Exemplo: (UFF-RJ/modificada) – Qual é o valor de (sen22°30’ + cos22°30’)2?
Solução: Utilizando produtos notáveis, teremos:
(sen22°30’ + cos22°30’)2
sen2(22°30’) + 2sen22°30’cos22°30’ + cos2(22°30’)
Sabendo que sen2a + cos2a = 1, teremos:
sen2(22°30’) + 2sen22°30’cos22°30’ + cos2(22°30’)
1 + 2sen22°30’cos22°30’
E sabendo que sen(2a) = 2·sena·cosa:
1 + 2sen22°30’cos22°30’
1 + sen(2·22°30’)
1 + sen45
1 + √2
2
Leia também: Seno, cosseno e tangente