Função composta

Função composta é a aplicação de uma função em outra função, conhecida também como função de função. Dada a função f: A → B e g: B → C, a função composta de f com g pode ser presentada por fog: A → C, que nada mais é que a composição f(g(x)).

Para encontrar o valor numérico de uma função composta, basta substituir seu valor na lei de formação. Para encontrar a lei de formação de uma função composta, f(g(x)), troca-se a variável de f(x) pela lei de formação de g(x).

Leia também: Função polinomial — aquela cuja lei de formação pode ser descrita por um polinômio

Resumo sobre função composta

• A função composta de f(x) e g(x) é a função fog(x) = f(g(x)).

• Para encontrar a lei de formação da função composta fog, substitui-se a variável de f(x) pela lei de formação de g(x).

• Pode-se calcular o valor numérico de uma função composta substituindo o valor da variável em fog.

Videoaula sobre função composta

O que é função composta?

A → C. : gof a função ge f como função composta de tem-se: B → C, g: A → B e f ões funçs as uma nova. Dadagerando, a composição entre duas funções como função composta sidera-seCon

A função composta de f em g é representada por fog. Já a função composta de g em f é representada por gof. Logo, a ordem das funções é importante. Perceba que fog é uma função composta diferente de gof, pois fog é igual a f(g(x)), já gof é igual a g(f(x)).

Diagrama da função composta

Como calcular a função composta?

Para encontrar a lei de formação da função composta fog(x), basta lembrar que fog = f(g(x)). Sendo assim, substitui-se as variáveis da função f pela lei de formação da função g(x).

Exemplo:

Dadas as funções de f e g R → R, com lei de formação f(x) = 2x + 3 e g(x) = x² + 5x – 4, encontre:

a) fog(x)

b) gof(x)

Resolução:

a) Para encontrar fog(x), substituiremos a variável de f(x) pela lei de formação de g(x), então encontraremos f(g(x)).

Sabemos que:

f(x) = 2x + 3 e g(x) = x² + 5x – 4

f(g(x)) = 2(x² + 5x – 4) + 3

Aplicaremos a propriedade distributiva para eliminar os parênteses:

f(g(x)) = 2x² + 10x – 8 + 3

Então, temos que:

f(g(x)) = 2x² + 10x – 5

b) Agora, encontraremos gof(x).

Sabemos que:

g(x) = x² + 5x – 4 e f(x) = 2x + 3

Então, temos que:

g(f(x)) = (2x + 3)² + 5(2x + 3) – 4

g(f(x)) = (2x + 3) (2x + 3) + 10x + 15 – 4

g(f(x)) = 2x² + 6x + 6x + 9 + 10x + 15 – 4

g(f(x)) = 4x² + 22x + 20

Leia também: Diferenças entre função e equação

Valor numérico da função composta

Para encontrar o valor numérico da função composta fog(x) para x = n, primeiramente calcula-se o valor de g(n) e depois o valor de f(g(n)).

Exemplo:

Dada as funções f(x) = x² – x + 3 e g(x) = √x – 3, calcule o valor de f(g(25)).

Resolução:

De início, encontraremos o valor de g(25).

g(25) = √25 – 3

g(25) = 5 – 3

g(25) = 2

Agora, calcularemos o valor de f(g(25)). Sabemos que g(25) = 2, então calcularemos f(2).

f(2) = 2² – 2 + 3

f(2) = 4 – 2 + 3

f(2) = 2 + 3

f(2) = 5

Portanto, obtemos o seguinte resultado: f(g(25)) = 2

Exercícios resolvidos sobre função composta

Questão 1

(Acafe SC) Dadas as funções reais f(x) = 2x – 6 e g(x) = ax + b, se f[g(x)] = 12x + 8, o valor de a + b é

A) 10.

B) 13.

C) 12.

D) 20.

Resolução:

Alternativa B

Sabemos que f(x) = 2x – 6:

g(x) = ax + b

f[g(x)] = 12x + 8

Substituindo g(x) em f(x), temos que:

f[g(x)] = 2(ax + b) – 6

Substituindo a lei de formação de f[g(x)], obtemos o seguinte:

12x + 8 = 2ax + 2b – 6

Logo :

2ax = 12x e 2b – 6 = 8

Igualando os termos para encontrar o valor de a, calculamos:

2ax = 12x

2a = 12

a = 12/2

a = 6

Encontrando o valor de b:

2b – 6 = 8

2b = 8 + 6

2b = 14

b = 14/2

b = 7

Agora, basta somar a + b. Sendo a = 6 e b = 7:

6 + 7 = 13

Questão 2

(UPF) Um estudo das condições ambientais de um município do Rio Grande do Sul indica que a taxa média de monóxido de carbono (CO) no ar será de C(P) = 0,2P – 1 partes por milhão (ppm) quando a população for P milhares de habitantes. Sabe-se que em t anos a população desse município será dada pela relação 2 P(t) = 50 + 0,05t². O nível de monóxido de carbono, em função do tempo t, é dado por

A) C(t) = 9 + 0,01t².
B) C(t) = 0,2 (49 + 0,05t²).
C) C(t) = 9 + 0,05t².
D) C(t) = 0,1 (1 + 0,05t²) – 1.
E) C(t) = 10 + 0,95t².

Resolução:

Alternativa A

Queremos encontrar a função composta C(P(t)) e sua lei de formação. Sabemos que C(P) = 0,2 P – 1. Substituindo P por 50 + 0,05t², temos o seguinte:

C(P(t)) = 0,2 (50 + 0,05t²) – 1

C(P(t)) = 10 + 0,01t² – 1

C(P(t)) = 9 + 0,01t²

Essa função pode ser descrita somente com C em função de t, ou seja, C(t):

C(t) = 9 + 0,01t²