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Posição relativa entre planos

A posição relativa entre planos é o estudo de como esses objetos interagem no espaço tridimensional: com ou sem pontos na intersecção.
Planos paralelos e perpendiculares formando um cubo
Planos paralelos e perpendiculares formando um cubo

Planos são figuras geométricas de duas dimensões que, geralmente, ocupam parte do espaço tridimensional. Ao escolher dois planos quaisquer no espaço, é possível identificar se existe interação entre eles e o modo como ela acontece. Isso depende da posição relativa entre esses dois planos.

O que é plano?

O plano é uma coleção infinita de retas paralelas que são perpendiculares a uma única reta. Essa última existe para que as retas paralelas não façam qualquer ondulação. O resultado disso é uma superfície plana parecida, por exemplo, com a superfície de uma mesa ou com a parede de uma casa.

Construção de um plano a partir de retas paralelas
Construção de um plano a partir de retas paralelas

As posições relativas entre planos são três, a saber:

Planos coincidentes

Caso idêntico ao de retas coincidentes. Quando dois planos equivalem a um único plano, ou seja, quando compartilham todos os pontos, eles são chamados de coincidentes.

Exemplo de planos coincidentes: são o mesmo plano
Exemplo de planos coincidentes: são o mesmo plano

As retas coincidentes são aquelas que possuem dois pontos em comum. O resultado disso é que elas também compartilham todos os outros infinitos pontos. Já os planos coincidentes são aqueles que possuem três pontos não colineares – que não estão em linha reta – em comum.

Também é possível pensar nessa definição a partir de uma reta e um ponto fora dela, duas retas paralelas ou duas retas concorrentes. Se dois planos compartilham uma reta e um ponto fora dela ou duas retas paralelas ou duas retas concorrentes, eles são coincidentes.

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Planos secantes

Os planos secantes, também chamados de planos concorrentes, equivalem às retas concorrentes. Assim, dois planos são secantes quando são distintos e possuem pontos em sua intersecção. Portanto, para que dois planos sejam secantes, é necessário que eles não sejam coincidentes, mas que possuam pontos em comum.

Outro modo de definir planos secantes é o seguinte: Se a intersecção entre dois planos é uma reta, esses planos são secantes. Logo, os pontos em comum entre os dois planos não coincidentes sempre serão uma reta.

As propriedades que envolvem os planos secantes α e β são as seguintes:

  • Se os planos α e β são perpendiculares e a reta r, pertencente ao plano α, é perpendicular à intersecção entre esses planos, então r também é perpendicular ao plano β.

  • 2 – Quando um plano contém uma reta perpendicular a outro, esses dois planos são perpendiculares.

Planos paralelos

Dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. As propriedades dos planos paralelos são as seguintes:

  • Se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano, esses dois planos são paralelos. Para que uma reta r seja paralela a um plano, é necessário encontrar uma reta s nesse plano que seja paralela à reta r;

  • A distância entre dois planos paralelos (α e β) é igual à distância de ponto a plano entre um ponto pertencente a α e o plano β.

Exemplo de planos que não possuem ponto em comum
Exemplo de planos que não possuem ponto em comum

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
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