Propriedades da multiplicação

As propriedades da multiplicação são características específicas dessa operação que facilitam cálculos. Neste texto vamos estudar 5 propriedades da multiplicação entre números reais: comutativa, associativa, distributiva, elemento neutro e elemento inverso.

Leia também: Propriedades da multiplicação de números inteiros (positivos e negativos)

Resumo sobre propriedades da multiplicação

• As propriedades da multiplicação são utilizadas para simplificar cálculos e expressões.
• Cada propriedade é uma igualdade.
• De acordo com a propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto.
• Segundo a propriedade associativa, o modo com que os números são agrupados não altera o produto entre eles.
• Conforme a propriedade distributiva, a multiplicação de um número pela soma de outros dois pode ser distribuída para cada elemento da soma.
• O número 1 é o elemento neutro da multiplicação, pois o produto de um número real por 1 é 1.
• Dado um número a real não nulo, o número \(\frac{1}{a}\) é seu inverso multiplicativo, pois o produto de a e \(\frac{1}{a}\) é o elemento neutro.

Videoaula sobre as propriedades da multiplicação

Quais são as propriedades da multiplicação?

As propriedades da multiplicação de números reais envolvem igualdades. Para compreender o funcionamento de cada propriedade é necessário identificar quais elementos compõem cada lado de uma igualdade.

Considere, por exemplo, a igualdade x + 2 = y - 1. O lado esquerdo dessa igualdade é x + 2, e o lado direito é y - 1.

Aplicar uma propriedade significa identificar que a informação de um lado da igualdade pode ser substituída pela informação do outro lado da igualdade sem alteração do resultado. A partir disso, vamos conhecer as propriedades da multiplicação.

→ Propriedade comutativa da multiplicação

Dados a e b reais, tem-se que

\(a\times b=b\times a\)

Isso significa que a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, a ordem com que dois números reais são multiplicados não altera o resultado.

Exemplo 1: Seja \(a=2 \ e \ b=3\).

\(2\times3=6\ e \ 3\times2=6\)

Exemplo 2: Seja \(a=-7\ e \ b=5.\).

\(\left(-7\right)\times5=-35\ e \ 5\times\left(-7\right)=-35\)

→ Propriedade associativa da multiplicação

Dados a, b e c reais, tem-se que

\(a\times\left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c\)

Isso significa que a maneira em que os números são agrupados para os cálculos da multiplicação entre eles não altera o produto.

Exemplo 1: Seja \(a=5\), \(b=2\) e \(c=7\).

\(5\times\left(2\times7\right)=5\times\left(14\right)=70\ e \left(5\times2\right)\times7=10\times7=70\)

Exemplo 2: Seja \(a=-1\), \(b=4\) e \(c=11\).

\(-1\times\left(4\times11\right)=-1\times\left(44\right)=-44\ e \ \left(-1\times4\right)\times11=-4\times11=-44\)

→ Propriedade distributiva da multiplicação

Dados a, b e c reais, tem-se que

\(a\times\left(b+c\right)=a\times b+a\times c\)

Conforme a propriedade distributiva, a multiplicação de um número pela soma de outros dois pode ser distribuída para cada elemento da soma.

Exemplo 1: Seja \(a=3\), \(b=8\) e \(c=6\).

\(3\times\left(8+6\right)=3\times14=42\ e \ 3\times8+3\times6=24+18=42\)

Exemplo 2: Seja \(a=4\), \(b=-10\) e \(c=2\).

\(4\times\left(-10+2\right)=4\times\left(-8\right)=-32\ e \ 4\times\left(-10\right)+4\times2=-40+8=-32\)

→ Elemento neutro

Dado a real, tem-se que

\(a\times1=a\)

Isso significa que 1 é o elemento neutro da multiplicação, ou seja, multiplicar um número por 1 resulta no próprio número.

Exemplo:

\(9\times1=9\)

\(-20\times1=-20\)

\(\frac{1}{3}\times1=\frac{1}{3}\)

→ Elemento inverso (ou inverso multiplicativo)

Dado a real, a≠0, tem-se que

\(a\times\frac{1}{a}=1\)

Isso significa que \(\frac{1}{a}\) é o elemento inverso de a, pois o produto entre a e \(\frac{1}{a}\) é o elemento neutro (1).

Exemplos:

\(5\times\frac{1}{5}=1\)

\(-2\times\frac{1}{-2}=1\)

\(\frac{8}{3}\times\frac{1}{\frac{8}{3}}=\frac{8}{3}\times\frac{3}{8}=1\)

Aplicações das propriedades da multiplicação

As propriedades estudadas são utilizadas para facilitar cálculos de multiplicação. Em muitos casos aplicamos essas propriedades de maneira natural, inclusive para simplificar expressões algébricas.

Saiba mais: Propriedade distributiva na multiplicação de polinômios

Exercícios resolvidos sobre propriedades da multiplicação

Questão 1

Luiz precisava resolver a multiplicação 9×4 para concluir sua lição de casa, mas não lembrava o resultado. No entanto, ele sabia que a resposta era igual à da multiplicação 4×9, cujo resultado é 36. Assim, Luiz conseguiu finalizar sua lição de casa.

Qual propriedade da multiplicação Luiz utilizou para finalizar a lição de casa?

a) Associativa.

b) Comutativa.

c) Distributiva.

d) Elemento neutro.

e) Elemento inverso.

Resolução

Luiz sabia que a ordem dos fatores não altera o produto. Assim, ele utilizou a propriedade comutivativa da multiplicação.

Alternativa B.

Questão 2

Qual o valor de x na expressão \(\frac{1}{\sqrt2}\cdot x=1\)?

a) \(1\)

b) \( \sqrt2\)

c) \(2\)

d) \( 2\sqrt2\)

e) \( 2+\sqrt2\)

Resolução

Note que o produto entre \(\frac{1}{\sqrt2}\) e x é 1. Portanto, pela propriedade do elemento inverso, x é o inverso multiplicativo de \(\frac{1}{\sqrt2}\), ou seja

\(x=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt2}}\)

\(x=\sqrt2\)

Alternativa B.

Fontes

HEFEZ, A. Elementos de Aritmética. 2 ed. Coleção textos universitários. Rio de Janeiro: SBM, 2006.

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.