O que é função?
![Representação de uma função por meio de um diagrama. Representação de uma função por meio de um diagrama.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/funcao.jpg)
A função é uma relação entre dois conjuntos na qual há uma correspondência entre elementos de um conjunto A com elementos de um conjunto B. Para que essa relação entre o conjunto A e B seja uma função, cada elemento do conjunto A precisa ter um único correspondente no conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio e o conjunto B de contradomínio. Na maioria das vezes, utilizamos para ambos o conjunto dos números reais.
Existem alguns tipos mais comuns de função, sendo eles:
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função polinomial do 1º grau;
-
função polinomial do 2º grau;
-
função modular;
-
função exponencial;
-
função logarítmica.
Existem também as funções trigonométricas, que são a função seno, a função cosseno e a função tangente. De acordo com as suas características, uma função pode ser injetora, sobrejetora e bijetora.
Leia também: Quais as diferenças entre função e equação?
Função
Sejam A e B dois conjuntos. Conhecemos como função a relação entre os conjuntos A e B na qual, para todo elemento do conjunto A, há um único correspondente no conjunto B. Quando essa relação existe, ela é descrita da seguinte maneira f: A → B (função de A em B). Em uma função f: A → B, o conjunto A é conhecido como domínio e o conjunto B como contradomínio.
Exemplo 1:
O diagrama a seguir descreve uma função, pois todo elemento do conjunto A possui um correspondente em B.
Exemplo 2:
Outros exemplos que descrevem uma função.
Esse exemplo também é uma função. Por mais que exista um elemento no conjunto B que não é correspondente de nenhum elemento do conjunto A, esse fato não contradiz a definição, pois todos os elementos do A possuem um único correspondente em B.
Exemplo 3:
Veja mais um exemplo de relação entre dois conjuntos que é uma função:
Por mais que exista um elemento no conjunto B que é correspondente de dois elementos no conjunto A, essa relação também é uma função, pois as restrições são para o conjunto A, ou seja, um elemento de A não pode ter dois correspondentes em B, mas um elemento de B pode ser correspondente de dois elementos em A.
Agora vejamos algumas situações em que a relação entre os conjuntos não pode ser classificada como uma função:
Exemplo 4:
Note que existe um elemento de A que não possui nenhum correspondente em B, o que contradiz a definição de função, logo essa relação não é uma função.
Exemplo 5:
Esse caso também não é uma função, pois existe um elemento de A que possui dois correspondentes no conjunto B.
Leia também: Plano cartesiano — outra forma de representar geometricamente as funções
Lei de formação da função
Conhecemos como lei de formação da função a fórmula que relaciona os elementos do domínio com os elementos do contradomínio. Por exemplo, seja f: R → R, com lei de formação f(x) = 2x, essa função recebe valores do domínio e relaciona-os com o seu dobro no contradomínio.
Exemplo:
f(1) = 2 · 1 = 2
Dizemos que o número 1 no domínio tem como imagem o número 2 no contradomínio.
f(2) = 2 · 2 = 4
A imagem de 2 é o 4.
Tipos de função
Existem duas formas distintas de classificar as funções. Uma delas é quanto à sua lei de formação e a outra é quanto à relação entre domínio e contradomínio.
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Classificação quanto à relação entre o domínio e o contradomínio
Quando analisamos a relação entre o domínio e o contradomínio, existem três classificações importantes, isto é, uma função pode ser injetora, sobrejetora e bijetora.
→ Função injetora
![Representação de uma função injetora.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/6-injetora.jpg)
Uma função qualquer f: A → B é classificada como injetora se, e somente se, elementos diferentes do conjunto A possuem imagens diferentes no conjunto B. Isso quer dizer que dois elementos diferentes do conjunto A não podem possuir o mesmo correspondente no conjunto B.
![Representação de uma função sobrejetora.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/7-nao-injetora.jpg)
Note que, na segunda imagem, existem dois elementos diferentes do conjunto A que possuem o mesmo correspondente no conjunto B, o que faz com que essa função não seja injetora.
→ Função sobrejetora
![Representação de uma função sobrejetora.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/8-funcao-sobrejetora.jpg)
Conhecemos uma função como sobrejetora se todos os elementos do seu contradomínio forem imagem de pelo menos um elemento no domínio.
![Representação da função não sobrejetora](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/9-funcao-nao-sobrejetora.jpg)
Note que, nesse caso, existe um elemento do conjunto B que não é imagem de nenhum dos elementos do conjunto A, logo dizemos que essa função não é sobrejetora.
→ Função bijetora
Para que uma função seja bijetora, ela precisa ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, satisfazendo as duas condições.
Veja também: O que é função inversa?
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Classificação quanto à lei de formação
Vamos classificar as funções de acordo com a lei de formação. Conhecemos as funções polinomiais, modulares, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
→ Funções polinomiais
Conhecemos como função polinomial qualquer função cuja lei de formação é um polinômio. De acordo com o grau desse polinômio, a função pode receber nomes diferentes, conforme lista a seguir. Para as leis de formação a seguir, considere os coeficientes a, b, c e d como números reais.
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f(x) = ax + b → função polinomial do 1º grau ou função afim;
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f(x) = ax² + bx + c → função polinomial do 2º grau ou função quadrática;
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f(x) = ax³+ bx² + cx + d → função polinomial do 3º grau ou função cúbica, e assim sucessivamente.
→ Função modular
Uma função é conhecida como modular quando ela possui, em sua lei de formação, uma variável dentro de um módulo. No módulo pode haver qualquer outro tipo de expressão algébrica, como um polinômio.
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f(x) = |ax + b|
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f(x) = |ax² + bx + c|
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f(x) = | sen (x) |
→ Função exponencial
Uma função é classificada como exponencial quando a variável x do expoente é um número real diferente de 1. A sua lei de formação é:
f(x) = ax
→ Função logarítmica
A função é classificada como logarítmica quando, em sua lei de formação, há um logaritmo de base a que é um número real diferente de 1. A sua lei de formação é:
f(x) = loga x
→ Funções trigonométricas
Existem três principais funções trigonométricas. Como o nome sugere, a função é trigonométrica quando, em sua lei de formação, há uma razão trigonométrica. As principais são a função seno, a função cosseno e a função tangente.
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f(x) = sen x
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f(x) = cos x
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f(x) = tg x
Aplicações das funções
A função está constantemente presente nas nossas vidas, pois estamos trabalhando rotineiramente com situações que envolvem grandezas. Vários fenômenos físicos só podem ser explicados por meio de uma função, como a maioria das fórmulas da Física e da Química.
Existem situações bem simples no nosso dia a dia que podem ser descritas como uma função, como o peso de uma verdura e o valor a ser pago por ela, o consumo de combustível e a quilometragem rodada, entre outras situações. Quase sempre que houver uma relação entre duas grandezas, será possível descrever essa situação por meio de uma função.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Analise as relações entre os conjuntos a seguir:
Marque a alternativa correta:
A) As relações I, II e III são funções.
B) Somente a relação I não é uma função.
C) Somente a relação II não é uma função.
D) Somente a relação III não é uma função.
E) As relações I, II e III não são funções.
Resolução
Alternativa D.
Analisando as relações I e II satisfazem a definição de função, pois, para cada elemento de A, existe um único correspondente pertencente ao conjunto B. Na III, é possível perceber que há um elemento em A que não possui correspondente em B, então:
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I → é função;
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II → é função;
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III → não é função, pois existe um elemento no domínio que não possui nenhum correspondente no contradomínio.
Questão 2 - (Seduce – MT) Analise as quatro afirmações abaixo sobre funções matemáticas:
I. Uma função é injetora se cada elemento do domínio da função possui uma imagem diferente no contradomínio.
II. Uma função é sobrejetora se cada elemento do contradomínio for imagem de um elemento do domínio da função.
III. Uma função não pode ser injetora e sobrejetora simultaneamente.
IV. O contradomínio de uma função numérica sempre será um conjunto numérico maior que o domínio dessa função. Por exemplo, se o domínio de uma função for os números naturais, o contradomínio será, no mínimo, o conjunto dos números inteiros.
Assinale a alternativa que indica quais dessas afirmações estão corretas.
A) Apenas a afirmação I está correta.
B) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
C) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
D) Apenas as afirmações II e IV estão corretas.
E) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
Resolução
Alternativa B.
I → Verdadeira, pois essa é a definição de função injetora.
II → Verdadeira, pois essa é a definição de função sobrejetora.
III → Falsa, pois uma função pode ser injetora e sobrejetora simultaneamente.
IV → Falsa, pois o domínio e o contradomínio podem ser, inclusive, os mesmos conjuntos. Além disso, o contradomínio pode ter menos elementos que o domínio.
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