Regra de Cramer

Regra de Cramer é o método utilizado para encontrar as soluções de um sistema linear. Ela é aplicada principalmente em sistemas lineares 3x3, ou seja, que possuem três equações e três incógnitas.
Para aplicarmos essa regra em um sistema linear, é necessário encontrar as matrizes associadas ao sistema, calcular o determinante das matrizes e utilizar a razão entre os determinantes para chegar ao valor de cada uma das incógnitas.
Leia também: Teorema de Laplace — método para calcular o valor do determinante de matrizes quadradas
Resumo sobre a regra de Cramer
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A regra de Cramer é usada na resolução de sistemas lineares.
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Utilizamos as matrizes associadas ao sistema para aplicar a regra de Cramer.
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Dado um sistema de equações, a regra de Cramer define que:
x=DxD, y=DyD, e z=DzD
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D, Dx, Dy e Dz são os determinantes das matrizes associadas ao sistema.
Videoaula sobre a regra de Cramer

O que é a regra de Cramer?
Regra de Cramer é um método utilizado para encontrar o conjunto solução de um sistema de equação linear possível determinado. Essa regra utiliza o determinante das matrizes associadas ao sistema para encontrar as soluções do sistema. O método é aplicado principalmente em sistemas lineares que possuem 3 incógnitas e 3 equações, mas pode ser empregado também em sistemas lineares 2 por 2.
Como usar a regra de Cramer
A seguir, temos um sistema linear com 3 linhas e 3 colunas:
No sistema, é possível aplicar a regra de Cramer. Para isso, de início calcularemos o determinante da matriz incompleta D.
D = |a1b1c1a2b2c2a3b3c3|
Também calcularemos Dx, que é o determinante da matriz incompleta, substituindo a primeira coluna pelos termos independentes d1, d2 e d3.
Dx=|d1b1c1d2b2c2d3b3c3|
Dy e Dz são os determinantes das matrizes incompletas, que substituem, respectivamente, a segunda e a terceira coluna pelos termos independentes.
Dy=|a1d1c1a2d2c2a3d3c3| Dz=|a1b1d1a2b2d2a3b3d3|
Pela regra de Cramer, conhecendo os valores dos determinantes anteriores, temos que:
x=DxD, y=DyD, e z=DzD
Logo, perceba que quando o sistema possui solução, é possível encontrar os valores de x, y e z utilizando a regra de Cramer.
Leia também: Regra de Sarrus — método para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e 3
Solução de sistemas usando a regra de Cramer
Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer para sistemas lineares 2x2 e 3x3.
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Solução de sistemas 2x2
Quando o sistema linear é 2x2, há apenas duas variáveis, como no exemplo:
Para resolver esse sistema aplicando a regra de Cramer, de início calcularemos o determinante D:
D =|2534|
D = 2 ⋅4 − 3 ⋅5
D = 8 − 15
D = − 7
Agora, calcularemos Dx e Dy:
Dx=|3584|
Dx=3⋅4−8⋅5
Dx=12−40
Dx=−28
Dy=|2338|
Dy=2⋅8−3⋅3
Dy=16−9
Dy=7
Como conhecemos os valores de D,Dx e Dy, podemos encontrar o valor de cada uma das incógnitas:
x=DxD=−28−7=4
y=DyD=−77 = − 1
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Solução de sistemas 3x3
Vejamos agora um exemplo da regra de Cramer aplicada a um sistema 3x3.
Pela regra de Cramer, temos que:
D = |12−3211−321|
D=1⋅1⋅1+2⋅1⋅(−3)+(−3)⋅2⋅2−(−3)⋅1⋅(−3)−1⋅2⋅1−1⋅2⋅2
D = 1 − 6 −12 −9 −2−4
D = −32
Calculando Dx:
Dx=|102− 3311−621|
Dx=10⋅1⋅1+2⋅1⋅(−6)+(−3)⋅3⋅2−(−6)⋅1⋅(−3)−2⋅1⋅10–1⋅3⋅2=−64
Calculando Dy:
Dy=|110− 3231−3−61|
Dy=1⋅3⋅1+10⋅1⋅(−3)+(−3)⋅2⋅(−6)−(−3)⋅3⋅(−3)−1⋅1⋅(−6)−10⋅2⋅1
Dy=3−30+36−27+6−20
Dy=−32
Calculando Dz:
Dz=|1210213−32− 6|
Dz=1⋅1⋅(−6)+2⋅3⋅(−3)+10⋅2⋅2−10⋅1⋅(−3)−1⋅3⋅2− 2⋅2⋅(−6)
Dz=−6−18+40+30−6+24
Dz=64
Calculando os valores de x, y e z:
x=DxD=−64−32=2
y=DyD=−32−32=1
z=DzD=64−32=−2
Então, temos que x=2, y=1 e z=− 2..
Leia também: Como resolver matrizes e determinantes?
Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer
Questão 1
Sobre a Regra de Cramer, marque a alternativa correta:
A) A regra de Cramer é um método desenvolvido para calcular determinantes de matrizes de ordem 2 e ordem 3.
B) A regra de Cramer é um método desenvolvido para calcular a matriz inversa quando ela existir.
C) A regra de Cramer é um método desenvolvido para calcular uma matriz transposta.
D) A regra de Cramer é um método desenvolvido para calcular as soluções de sistemas lineares.
Resolução:
Alternativa D
A regra de Cramer foi desenvolvida como um método que nos auxilia a calcular soluções de sistemas lineares.
Questão 2
Analisando o exemplo a seguir, podemos afirmar que a soma dos valores de x + y que satisfazem o sistema é igual a:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Resolução:
Alternativa C
Utilizaremos regra de Cramer para encontrar o valor de x + y.
Primeiramente, calcularemos o valor de D:
D = |11121−11−22|
D = 1⋅1⋅2+1⋅(−1)⋅1+1⋅2⋅(−2)−1⋅1⋅1−1⋅(−1)⋅(−2)−1⋅2⋅2
D = 2 − 1 − 4 − 1 − 2 − 4
D = - 10
Sabemos que x + y + z = 7 analisando a primeira linha do sistema. Assim, se encontrarmos o valor de z, encontraremos o valor de x + y. Logo, calculando Dz:
Dz=|1172191−22|
Dz=1⋅1⋅2+1⋅9⋅1+7⋅2⋅(−2)−7⋅1⋅1−1⋅9⋅(−2)−1⋅2⋅2
Dz=2+9−28−7+18−4
Dz=−10
Então, temos que:
z=DzD=−10−10=1
Sabendo que z = 1:
x + y + z = 7
x + y + 1 = 7
x + y = 7 − 1
x + y = 6
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