Termo geral da PG
O termo geral de uma progressão geométrica (PG) é uma fórmula usada para descobrir um termo qualquer de uma PG. Para isso, é necessário conhecer o primeiro termo, a razão da progressão e a posição do termo a ser encontrado nela.
Considerando-se uma PG qualquer, cujo primeiro elemento é a1 e a razão é “q”, o termo geral an dessa PG é dado pela fórmula:
an = a1·qn – 1
Determinar a fórmula não é tarefa difícil. A fim de que o estudante compreenda bem o método que utilizamos para determinar essa fórmula, primeiro daremos um exemplo tendo como base uma PG e depois faremos o caso geral, de onde a fórmula é obtida.
Veja também: Sequência de Fibonacci
Razão e primeiro termo de uma PG
Uma PG é uma sequência numérica onde cada termo é o resultado do produto entre seu antecessor e uma constante, conhecida como razão. Essa característica apenas não é observada no primeiro termo, pois ele não possui antecessor. Veja a seguir um exemplo de PG de razão 2 e primeiro termo 3:
(3, 6, 12, 24, …)
Observe que é sempre possível qualquer termo de uma PG em função do primeiro. Isso acontece porque o segundo termo é um produto do primeiro com a razão. O terceiro termo é um produto do segundo com a razão, que por sua vez é um produto do primeiro com a razão. Seguindo essa lógica, os termos dessa PG podem ser escritos da seguinte maneira:
a1 = 3
a2 = 6 = 3·2
a3 = 12 = 3·2·2
a4 = 24 = 3·2·2·2
…
Observe também que cada termo da PG é igual a um produto do primeiro por uma potência da razão. O expoente dessa potência é sempre igual ao índice (posição do termo indicada por n) menos uma unidade. Assim:
a1 = 3 = 3·20
a2 = 6 = 3·21
a3 = 12 = 3·22
a4 = 24 = 3·23
…
Dessa maneira, fica fácil determinar, por exemplo, o décimo termo dessa PG. Basta multiplicar 3 pela razão elevada à nona potência:
a10 = 3·29
a10 = 3·512
a10 = 1536
Termo geral da PG
A ideia usada para encontrar o termo geral da PG é justamente a ideia usada para encontrar o décimo termo da PG do exemplo anterior. Para isso, utilizaremos a PG geral cujos elementos são:
(a1, a2, a3, a4, … an)
Do exemplo anterior, sabemos que cada termo dessa PG pode ser escrito em função de um produto entre o primeiro termo e uma potência:
a1 = a1·q0
a2 = a1·q1
a3 = a1·q2
a4 = a1·q3
…
Sabendo que o expoente da razão q sempre será igual ao índice do termo em questão menos 1, para encontrar a fórmula usada para determinar o enésimo termo (um termo qualquer, também chamado termo geral), basta fazer:
an = a1·qn – 1
Exemplo
Determine o décimo quinto termo da progressão geométrica a seguir: (1, 3, 9, 27, …)
Observe que a razão dessa PG é 3, pois cada termo é um produto do anterior por 3. Note também que o primeiro termo é 1, e como queremos descobrir o décimo quinto termo, n = 15. Dessa maneira, teremos:
an = a1·qn – 1
a15 = 1·315 – 1
a15 = 314
a15 = 4782969