Whatsapp icon Whatsapp

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é utilizada para calcular a medida de um lado desconhecido de um triângulo qualquer quando conhecemos dois de seus lados e um dos seus ângulos internos.
Lei dos cossenos.
Lei dos cossenos.

A lei dos cossenos é uma relação entre os lados do triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos. Conhecida também como teorema dos cossenos, essa relação é utilizada para encontrar a medida de lados desconhecidos de um triângulo cujos valores de dois lados são conhecidos e o valor de um ângulo interno é conhecido.

Dado um triângulo de lados a, b e c, com o ângulo  conhecido, a fórmula da lei dos cossenos é a² = b² + c² - 2bc cosÂ, ou seja, o comprimento do lado a é igual à soma do quadrado da medida dos lados b e c menos duas vezes o produto da medida dos lados b e c com o cosseno do ângulo oposto ao lado a.

Leia também: Seno, cosseno e tangente — qual a diferença?

Resumo sobre lei dos cossenos

  • A lei dos cossenos é uma relação entre a medida dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos.
  • Utilizamos a lei dos cossenos para encontrar a medida de lados desconhecidos de um triângulo qualquer.
  • Dado um triângulo de lados a, b e c, as fórmulas da lei dos cossenos são:

\(a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cosÂ\)

\(b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\hat{B}\)

\(c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\hat{C}\)

Videoaula sobre lei dos cossenos

O que é a lei dos cossenos?

Conhecida também como teorema dos cossenos, a lei dos cossenos é uma relação entre a medida dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos. A lei dos cossenos nos permite descobrir a medida de um lado do triângulo quando conhecemos a medida de outros dois lados e o ângulo oposto ao lado que queremos descobrir.

Qual é a fórmula da lei dos cossenos?

Seja a o lado do qual queremos descobrir o valor e b e c as medidas dos outros dois lados, a lei dos cossenos mostra que o quadrado do lado a é igual à soma dos quadrados dos lados b e c menos duas vezes os lados b vezes o cosseno do ângulo oposto ao lado a.

Ilustração de um triângulo de lados a, b e c.

De modo geral, considerando um triângulo de lados a, b e c, podemos escrever a fórmula da lei dos cossenos de três maneiras

  • \( a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cosÂ\)
  • \( b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\hat{B}\)
  • \( c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\hat{C}\)

A fórmula a ser usada depende de qual dos ângulos é conhecido. Se é conhecido o valor do ângulo \(Â\), utilizamos a primeira fórmula; caso seja o ângulo \(\hat{B}\), a segunda fórmula; por fim, caso seja o ângulo \(\hat{C}\), a terceira fórmula.

É importante perceber que as fórmulas sempre possuem um mesmo padrão. Logo, sabendo que o lado que fica sozinho na igualdade é o que está oposto ao ângulo conhecido, fica mais fácil saber como devemos aplicar a fórmula.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Quando se aplica a lei dos cossenos?

A lei dos cossenos é utilizada quando conhecemos dois lados e um ângulo do triângulo e queremos encontrar o comprimento do terceiro lado desse triângulo. Normalmente, a lei dos cossenos é aplicada para triângulos não retângulos, ainda que seja válida para triângulos retângulos.

Demonstração e aplicação da lei dos cossenos

Existem diferentes maneiras de demonstrar a lei dos cossenos. Faremos a seguir a demonstração por semelhança de triângulos. Primeiramente, construiremos o triângulo A, B e C, de lados a, b e c, e traçaremos a altura do vértice A, que será o segmento AP, dividindo a base em duas partes:

Demonstração da lei dos cossenos por semelhança de triângulos.

Com o segmento AP, são formados na imagem dois triângulos, o triângulo BPA e o triângulo APC. De início, analisando o triângulo BPA, sabemos que:

\(cos\hat{B}=\frac{x}{c}\)

Então, temos que:

\(x=c\cdot cos\hat{B}\)

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BPA:

\(c^2=x^2+h^2\)

Isolando h:

\(h^2=c^2-x^2\)

  • Exemplo:

Encontre a medida do lado representada por x na imagem:

Ilustração de um triângulo que terá a medida do seu lado desconhecido calculada pela lei dos cossenos.

Resolução:

Conhecemos o ângulo de 60°, e o lado oposto a ele mede x. Então, substituindo na fórmula da lei dos cossenos, será a incógnita x que ficará sozinha na igualdade:

\(x^2={10}^2+{15}^2-2\cdot10\cdot15\cdot cos60°\)

\(x^2=100+225-2\cdot10\cdot15\cdot\frac{1}{2}\)

\(x^2=325-150\)

\(x^2=175\)

\(x=\sqrt{175}\)

\(x\approx13,2\ cm\)

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo APC:

\(b^2=h^2+\left(a-x\right)^2\)

\(b^2=h^2+a^2-2\cdot a\cdot x+x^2\)

Sabemos que:

\(h² = c² - x² \)

Portanto:

\(b^2=c^2-x^2+a^2-2ax+x^2\)

\(b^2=c^2+a^2-2ax\)

Como x = c·cosB:

\(b^2=c^2+a^2–2·a·c·cosB\)

Note que nós encontramos a fórmula da lei dos cossenos. Para demonstrar as outras duas fórmulas, o processo é análogo a este, pois se traçarmos as alturas dos outros lados, encontramos as outras duas fórmulas da lei dos cossenos.

Acesse também: Demonstração da lei dos senos

Lei dos cossenos no triângulo retângulo

Durante a aplicação da lei dos cossenos em um triângulo retângulo, basta lembrar que o triângulo retângulo é aquele que possui 90° e que o cosseno de um ângulo de 90° é igual a 0, então temos que:

\(a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos90°\)

\(a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot0\)

\(a^2=b^2+c^2\)

Note então que encontramos o teorema de Pitágoras, por isso utilizamos diretamente o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos. A lei dos cossenos é interessante para triângulos não retângulos, pois sua aplicação em um triângulo retângulo nada mais é que o teorema de Pitágoras.

Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos

Questão 1

A medida do lado representado por x é igual a:

Ilustração 2 de um triângulo que terá a medida do seu lado desconhecido calculada pela lei dos cossenos.

A) 9 cm

B) 8 cm

C) 7 cm

D) 6 cm

E) 6 cm

Resolução:

Alternativa B

Aplicando a lei dos cossenos:

\(7^2=5^2+x^2-2\cdot5\cdot x\cdot cos60°\)

\(49=25+x^2-10\cdot x\cdot\frac{1}{2}\)

\(49=25+x^2-5x\)

\(x^2-5x+25-49=0\)

\(x^2-5x-24=0\)

Calculando as raízes da equação, temos que a = 1, b = -5 e c = -24, logo:

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-24\right)\)

\(\Delta=\ 25\ +96\)

\(\Delta=121\)

Agora, utilizando a fórmula de Bhaskara:

\(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)

\(x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}\)

\(x=\frac{5\pm11}{2}\)

Como há duas soluções, o nosso interesse é somente na solução positiva, já que a resposta é a medida do lado de um triângulo:

\(x=\frac{5+11}{2}=\frac{16}{2}=8\ \)

Questão 2

(Uerj — adaptada) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas AT = 32 m, BT = 13 m e \(A\hat{T}B\) = 120°, representadas no esquema abaixo:

Ilustração representando a coleta de dados feita para um estudo topográfico da margem de um lago.

Calculando a distância, em metros, entre os pontos A e B, definidos pelo técnico nas margens desse lago, a distância é de, aproximadamente:

A) 38 metros

B) 39 metros

C) 40 metros

D) 41 metros

E) 42 metros

Resolução:

Alternativa C

Aplicando a lei dos cossenos:

\(x^2={32}^2+{13}^2-2\cdot32\cdot13\cdot cos\ 120°\)

\(x^2=1024+169-2\cdot32\cdot13\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(x^2=1193+416\)

\(x^2=1609\)

\(x=\sqrt{1609} \)

\(x\approx40,1\)

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

A Lei dos Senos - compreendendo sua aplicação
Clique aqui e aprenda como e quando aplicar a lei dos senos!
Círculo trigonométrico
Clique para aprender o que é um círculo trigonométrico, como construí-lo e o modo como o seno e o cosseno são marcados sobre ele.
O Teorema de Pitágoras Aplicado no Estudo da Trigonometria
Cálculo da diagonal do quadrado e da altura do triângulo equilátero.
Primeira relação fundamental da Trigonometria
Clique e aprenda o que é a primeira relação fundamental da Trigonometria e saiba como esse teorema relaciona-se com o ciclo trigonométrico.
Razões trigonométricas
Veja quais são as principais razões trigonométricas e exemplos de problemas que cobram esse tipo de conteúdo. Conheça também os ângulos notáveis.
Relações no triângulo retângulo
Triângulo, Triângulo retângulo, Elementos do triângulo retângulo, Características do triângulo retângulo, Teoremas de Pitágoras, Relação métrica do triângulo retângulo.
Trigonometria
Conheça as principais razões trigonométricas e aprenda a calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo. Resolva também os exercícios propostos sobre o tema.
Trigonometria no Triângulo Qualquer
Lei dos senos e lei dos cossenos.
video icon
Escrito"Revolução Francesa" sobre a tela A Liberdade guiando o povo, de Eugène Delacroix, representando a Revolução Francesa.
História
Revolução Francesa
O professor Alexandre Fernandes aborda algumas das principais questões sobre a Revolução Francesa, processo revolucionário que marcou a história e deu início cronologicamente à Idade Contemporânea.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.