Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma relação entre os lados do triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos. Conhecida também como teorema dos cossenos, essa relação é utilizada para encontrar a medida de lados desconhecidos de um triângulo cujos valores de dois lados são conhecidos e o valor de um ângulo interno é conhecido.

Dado um triângulo de lados a, b e c, com o ângulo  conhecido, a fórmula da lei dos cossenos é a² = b² + c² - 2bc cosÂ, ou seja, o comprimento do lado a é igual à soma do quadrado da medida dos lados b e c menos duas vezes o produto da medida dos lados b e c com o cosseno do ângulo oposto ao lado a.

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Resumo sobre lei dos cossenos

• A lei dos cossenos é uma relação entre a medida dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos.
• Utilizamos a lei dos cossenos para encontrar a medida de lados desconhecidos de um triângulo qualquer.
• Dado um triângulo de lados a, b e c, as fórmulas da lei dos cossenos são:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cosÂ$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\hat{B}$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\hat{C}$

Videoaula sobre lei dos cossenos

O que é a lei dos cossenos?

Conhecida também como teorema dos cossenos, a lei dos cossenos é uma relação entre a medida dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos. A lei dos cossenos nos permite descobrir a medida de um lado do triângulo quando conhecemos a medida de outros dois lados e o ângulo oposto ao lado que queremos descobrir.

Qual é a fórmula da lei dos cossenos?

Seja a o lado do qual queremos descobrir o valor e b e c as medidas dos outros dois lados, a lei dos cossenos mostra que o quadrado do lado a é igual à soma dos quadrados dos lados b e c menos duas vezes os lados b vezes o cosseno do ângulo oposto ao lado a.

De modo geral, considerando um triângulo de lados a, b e c, podemos escrever a fórmula da lei dos cossenos de três maneiras: 

• $a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cosÂ$
• $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\hat{B}$
• $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\hat{C}$

A fórmula a ser usada depende de qual dos ângulos é conhecido. Se é conhecido o valor do ângulo $Â$, utilizamos a primeira fórmula; caso seja o ângulo $\hat{B}$, a segunda fórmula; por fim, caso seja o ângulo $\hat{C}$, a terceira fórmula.

É importante perceber que as fórmulas sempre possuem um mesmo padrão. Logo, sabendo que o lado que fica sozinho na igualdade é o que está oposto ao ângulo conhecido, fica mais fácil saber como devemos aplicar a fórmula.

Quando se aplica a lei dos cossenos?

A lei dos cossenos é utilizada quando conhecemos dois lados e um ângulo do triângulo e queremos encontrar o comprimento do terceiro lado desse triângulo. Normalmente, a lei dos cossenos é aplicada para triângulos não retângulos, ainda que seja válida para triângulos retângulos.

Demonstração e aplicação da lei dos cossenos

Existem diferentes maneiras de demonstrar a lei dos cossenos. Faremos a seguir a demonstração por semelhança de triângulos. Primeiramente, construiremos o triângulo A, B e C, de lados a, b e c, e traçaremos a altura do vértice A, que será o segmento AP, dividindo a base em duas partes:

Com o segmento AP, são formados na imagem dois triângulos, o triângulo BPA e o triângulo APC. De início, analisando o triângulo BPA, sabemos que:

$cos\hat{B}=\frac{x}{c}$

Então, temos que:

$x=c\cdot cos\hat{B}$

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BPA:

$c^2=x^2+h^2$

Isolando h:

$h^2=c^2-x^2$

• Exemplo:

Encontre a medida do lado representada por x na imagem:

Resolução:

Conhecemos o ângulo de 60°, e o lado oposto a ele mede x. Então, substituindo na fórmula da lei dos cossenos, será a incógnita x que ficará sozinha na igualdade:

$x^2={10}^2+{15}^2-2\cdot10\cdot15\cdot cos60°$

$x^2=100+225-2\cdot10\cdot15\cdot\frac{1}{2}$

$x^2=325-150$

$x^2=175$

$x=\sqrt{175}$

$x\approx13,2\ cm$

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo APC:

$b^2=h^2+\left(a-x\right)^2$

$b^2=h^2+a^2-2\cdot a\cdot x+x^2$

Sabemos que:

$h² = c² - x²$

Portanto:

$b^2=c^2-x^2+a^2-2ax+x^2$

$b^2=c^2+a^2-2ax$

Como x = c·cosB:

$b^2=c^2+a^2–2·a·c·cosB$

Note que nós encontramos a fórmula da lei dos cossenos. Para demonstrar as outras duas fórmulas, o processo é análogo a este, pois se traçarmos as alturas dos outros lados, encontramos as outras duas fórmulas da lei dos cossenos.

Acesse também: Demonstração da lei dos senos

Lei dos cossenos no triângulo retângulo

Durante a aplicação da lei dos cossenos em um triângulo retângulo, basta lembrar que o triângulo retângulo é aquele que possui 90° e que o cosseno de um ângulo de 90° é igual a 0, então temos que:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos90°$

$a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot0$

$a^2=b^2+c^2$

Note então que encontramos o teorema de Pitágoras, por isso utilizamos diretamente o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos. A lei dos cossenos é interessante para triângulos não retângulos, pois sua aplicação em um triângulo retângulo nada mais é que o teorema de Pitágoras.

Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos

Questão 1

A medida do lado representado por x é igual a:

A) 9 cm

B) 8 cm

C) 7 cm

D) 6 cm

E) 6 cm

Resolução:

Alternativa B

Aplicando a lei dos cossenos:

$7^2=5^2+x^2-2\cdot5\cdot x\cdot cos60°$

$49=25+x^2-10\cdot x\cdot\frac{1}{2}$

$49=25+x^2-5x$

$x^2-5x+25-49=0$

$x^2-5x-24=0$

Calculando as raízes da equação, temos que a = 1, b = -5 e c = -24, logo:

$\Delta=b^2-4ac$

$\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-24\right)$

$\Delta=\ 25\ +96$

$\Delta=121$

Agora, utilizando a fórmula de Bhaskara:

$x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$

$x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}$

$x=\frac{5\pm11}{2}$

Como há duas soluções, o nosso interesse é somente na solução positiva, já que a resposta é a medida do lado de um triângulo:

$x=\frac{5+11}{2}=\frac{16}{2}=8\ $

Questão 2

(Uerj — adaptada) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas AT = 32 m, BT = 13 m e $A\hat{T}B$ = 120°, representadas no esquema abaixo:

Calculando a distância, em metros, entre os pontos A e B, definidos pelo técnico nas margens desse lago, a distância é de, aproximadamente:

A) 38 metros

B) 39 metros

C) 40 metros

D) 41 metros

E) 42 metros

Resolução:

Alternativa C

Aplicando a lei dos cossenos:

$x^2={32}^2+{13}^2-2\cdot32\cdot13\cdot cos\ 120°$

$x^2=1024+169-2\cdot32\cdot13\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$

$x^2=1193+416$

$x^2=1609$

$x=\sqrt{1609}$

$x\approx40,1$