Qual é a lei dos cossenos?

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é utilizada para calcular a medida de um lado desconhecido de um triângulo qualquer quando conhecemos dois de seus lados e um dos seus ângulos internos.

A lei dos cossenos é uma relação entre os lados do triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos. Conhecida também como teorema dos cossenos, essa relação é utilizada para encontrar a medida de lados desconhecidos de um triângulo cujos valores de dois lados são conhecidos e o valor de um ângulo interno é conhecido.

Dado um triângulo de lados a, b e c, com o ângulo Â conhecido, a fórmula da lei dos cossenos é a² = b² + c² - 2bc cosÂ, ou seja, o comprimento do lado a é igual à soma do quadrado da medida dos lados b e c menos duas vezes o produto da medida dos lados b e c com o cosseno do ângulo oposto ao lado a.

Resumo sobre lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma relação entre a medida dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos.
Utilizamos a lei dos cossenos para encontrar a medida de lados desconhecidos de um triângulo qualquer.
Dado um triângulo de lados a, b e c, as fórmulas da lei dos cossenos são:

\(a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cosÂ\)

\(b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\hat{B}\)

\(c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\hat{C}\)

Videoaula sobre lei dos cossenos

O que é a lei dos cossenos?

Conhecida também como teorema dos cossenos, a lei dos cossenos é uma relação entre a medida dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos. A lei dos cossenos nos permite descobrir a medida de um lado do triângulo quando conhecemos a medida de outros dois lados e o ângulo oposto ao lado que queremos descobrir.

Qual é a fórmula da lei dos cossenos?

Seja a o lado do qual queremos descobrir o valor e b e c as medidas dos outros dois lados, a lei dos cossenos mostra que o quadrado do lado a é igual à soma dos quadrados dos lados b e c menos duas vezes os lados b vezes o cosseno do ângulo oposto ao lado a.

Ilustração de um triângulo de lados a, b e c.

De modo geral, considerando um triângulo de lados a, b e c, podemos escrever a fórmula da lei dos cossenos de três maneiras:

\( a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cosÂ\)
\( b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\hat{B}\)
\( c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\hat{C}\)

A fórmula a ser usada depende de qual dos ângulos é conhecido. Se é conhecido o valor do ângulo \(Â\), utilizamos a primeira fórmula; caso seja o ângulo \(\hat{B}\), a segunda fórmula; por fim, caso seja o ângulo \(\hat{C}\), a terceira fórmula.

É importante perceber que as fórmulas sempre possuem um mesmo padrão. Logo, sabendo que o lado que fica sozinho na igualdade é o que está oposto ao ângulo conhecido, fica mais fácil saber como devemos aplicar a fórmula.

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Quando se aplica a lei dos cossenos?

A lei dos cossenos é utilizada quando conhecemos dois lados e um ângulo do triângulo e queremos encontrar o comprimento do terceiro lado desse triângulo. Normalmente, a lei dos cossenos é aplicada para triângulos não retângulos, ainda que seja válida para triângulos retângulos.

Demonstração e aplicação da lei dos cossenos

Existem diferentes maneiras de demonstrar a lei dos cossenos. Faremos a seguir a demonstração por semelhança de triângulos. Primeiramente, construiremos o triângulo A, B e C, de lados a, b e c, e traçaremos a altura do vértice A, que será o segmento AP, dividindo a base em duas partes:

Demonstração da lei dos cossenos por semelhança de triângulos.

Com o segmento AP, são formados na imagem dois triângulos, o triângulo BPA e o triângulo APC. De início, analisando o triângulo BPA, sabemos que:

\(cos\hat{B}=\frac{x}{c}\)

Então, temos que:

\(x=c\cdot cos\hat{B}\)

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BPA:

\(c^2=x^2+h^2\)

Isolando h:

\(h^2=c^2-x^2\)

Exemplo:

Encontre a medida do lado representada por x na imagem:

Ilustração de um triângulo que terá a medida do seu lado desconhecido calculada pela lei dos cossenos.

Resolução:

Conhecemos o ângulo de 60°, e o lado oposto a ele mede x. Então, substituindo na fórmula da lei dos cossenos, será a incógnita x que ficará sozinha na igualdade:

\(x^2={10}^2+{15}^2-2\cdot10\cdot15\cdot cos60°\)

\(x^2=100+225-2\cdot10\cdot15\cdot\frac{1}{2}\)

\(x^2=325-150\)

\(x^2=175\)

\(x=\sqrt{175}\)

\(x\approx13,2\ cm\)

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo APC:

\(b^2=h^2+\left(a-x\right)^2\)

\(b^2=h^2+a^2-2\cdot a\cdot x+x^2\)

Sabemos que:

\(h² = c² - x² \)

Portanto:

\(b^2=c^2-x^2+a^2-2ax+x^2\)

\(b^2=c^2+a^2-2ax\)

Como x = c·cosB:

\(b^2=c^2+a^2–2·a·c·cosB\)

Note que nós encontramos a fórmula da lei dos cossenos. Para demonstrar as outras duas fórmulas, o processo é análogo a este, pois se traçarmos as alturas dos outros lados, encontramos as outras duas fórmulas da lei dos cossenos.

Acesse também: Demonstração da lei dos senos

Lei dos cossenos no triângulo retângulo

Durante a aplicação da lei dos cossenos em um triângulo retângulo, basta lembrar que o triângulo retângulo é aquele que possui 90° e que o cosseno de um ângulo de 90° é igual a 0, então temos que:

\(a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos90°\)

\(a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot0\)

\(a^2=b^2+c^2\)

Note então que encontramos o teorema de Pitágoras, por isso utilizamos diretamente o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos. A lei dos cossenos é interessante para triângulos não retângulos, pois sua aplicação em um triângulo retângulo nada mais é que o teorema de Pitágoras.

Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos

Questão 1

A medida do lado representado por x é igual a:

Ilustração 2 de um triângulo que terá a medida do seu lado desconhecido calculada pela lei dos cossenos.

A) 9 cm

B) 8 cm

C) 7 cm

D) 6 cm

E) 6 cm

Resolução:

Alternativa B

Aplicando a lei dos cossenos:

\(7^2=5^2+x^2-2\cdot5\cdot x\cdot cos60°\)

\(49=25+x^2-10\cdot x\cdot\frac{1}{2}\)

\(49=25+x^2-5x\)

\(x^2-5x+25-49=0\)

\(x^2-5x-24=0\)

Calculando as raízes da equação, temos que a = 1, b = -5 e c = -24, logo:

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-24\right)\)

\(\Delta=\ 25\ +96\)

\(\Delta=121\)

Agora, utilizando a fórmula de Bhaskara:

\(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)

\(x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}\)

\(x=\frac{5\pm11}{2}\)

Como há duas soluções, o nosso interesse é somente na solução positiva, já que a resposta é a medida do lado de um triângulo:

\(x=\frac{5+11}{2}=\frac{16}{2}=8\ \)

Questão 2

(Uerj — adaptada) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas AT = 32 m, BT = 13 m e \(A\hat{T}B\) = 120°, representadas no esquema abaixo:

Ilustração representando a coleta de dados feita para um estudo topográfico da margem de um lago.