Whatsapp icon Whatsapp

Demonstração da lei dos senos

A demonstração da lei dos senos é feita com base em trigonometria básica e envolve a construção de uma das alturas de um triângulo qualquer.
A lei dos senos pode ser aplicada a um triângulo qualquer, como o representado na imagem
A lei dos senos pode ser aplicada a um triângulo qualquer, como o representado na imagem

A trigonometria básica relaciona as medidas de lados de triângulos retângulos às medidas de seus ângulos, por meio das razões seno, cosseno e tangente. Quando o triângulo não é retângulo, existem outros dois teoremas que possibilitam relacionar as medidas de seus lados e ângulos. São eles: a lei dos senos e a lei dos cossenos.

Por meio desses teoremas, é possível descobrir a medida de um dos lados de um triângulo conhecendo as medidas de outros de seus lados e ângulos. A seguir, veremos a lei dos senos e a sua demonstração.

Lei dos senos

Dado um triângulo ABC ilustrado na figura a seguir:

A lei dos senos é a seguinte proporção:

     a     =      b     =     c      
Senα      Senβ        Senθ

Como se trata de uma proporção, deveremos usar apenas uma das igualdades, que é escolhida de acordo com os lados e ângulos disponíveis no triângulo. Para descobrir a medida de um dos lados do triângulo utilizando a lei dos senos, será necessário conhecer as medidas do outro lado e do ângulo oposto a ele, como também do ângulo oposto ao lado cuja medida será descoberta.

Note que o ângulo α é oposto ao lado a, e ambos estão na mesma fração. O mesmo é válido para todos os outros ângulos e lados.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Demonstração da lei dos senos

Para demonstrar essa propriedade, observe a construção da altura desse triângulo, relativa à base AC.

A medida da base AC é igual a b. Observe que a altura BD corta o lado AC em duas partes não necessariamente iguais. Entretanto, uma altura sempre forma um ângulo de 90° com a base do triângulo. Sendo assim, temos dois triângulos retângulos na figura: o triângulo ABD e o triângulo BCD.

Calculando o seno do ângulo α, relativo ao triângulo ABD, teremos:

Senα = BD
             c

Assim, o lado BD mede:

Senα·c = BD

Calculando o seno do ângulo θ, relativo ao triângulo BCD, teremos:

Senθ = BD
             a

Assim, o lado BD também mede:

senθ·a = BD

Como tanto senθ·a como Senα·c são iguais a BD, podemos escrever:

senθ·a = Senα·c

    a     =     c     
Senα       senθ

Fazendo a construção da altura relativa a outro lado desse mesmo triângulo e realizando os cálculos análogos aos que foram apresentados, é possível encontrar a última fração usada na lei dos senos.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

A Lei dos Senos - compreendendo sua aplicação
Clique aqui e aprenda como e quando aplicar a lei dos senos!
Aplicações da Trigonometria
A trigonometria no cotidiano.
Lei dos cossenos
Clique aqui, saiba o que é a lei dos cossenos, conheça suas fórmulas e veja quais são suas aplicações.
Primeira relação fundamental da Trigonometria
Clique e aprenda o que é a primeira relação fundamental da Trigonometria e saiba como esse teorema relaciona-se com o ciclo trigonométrico.
Razão e proporção
Entenda os conceitos de razão e proporção e saiba como aplicá-los. Veja também como calcular razão e proporção e conheça as propriedades da proporção.
Relações no triângulo retângulo
Triângulo, Triângulo retângulo, Elementos do triângulo retângulo, Características do triângulo retângulo, Teoremas de Pitágoras, Relação métrica do triângulo retângulo.
Segunda relação fundamental da Trigonometria
Clique e descubra qual é a segunda relação fundamental da Trigonometria e entenda como esse teorema associa as razões trigonométricas básicas.
Seno, cosseno e tangente
Clique e aprenda o que é seno, cosseno e tangente, além de conferir alguns exemplos dessas razões trigonométricas!
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Clique para entender a soma dos ângulos internos de um triângulo e para obter exemplos dessa soma e a demonstração desse resultado.
Trigonometria no Triângulo Qualquer
Lei dos senos e lei dos cossenos.
Triângulo equilátero
Conheça o triângulo equilátero. Aprenda quais são suas propriedades. Veja a fórmula para calcular a área e a altura dessa figura.
Área de um triângulo com base na trigonometria
ângulo de triângulo, lados do triângulo, área do triângulo, fórmulas para o cálculo da área, área de qualquer triângulo, trigonometria e área de triângulos.
Ângulos
Clique para aprender o que são ângulos, como medi-los e algumas características dos ângulos notáveis.
video icon
"Matemática do Zero | Classificação de triângulos" escrito sobre fundo azul
Matemática do Zero
Matemática do Zero | Classificação de triângulos
Nessa aula veremos que um triângulo pode ser classificado quanto às medidas dos lados (isósceles, equilátero e escaleno) e quanto às medidas dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo).