Volume do prisma

Prisma é um sólido geométrico tridimensional formado por duas bases congruentes e paralelas e por quadriláteros que ligam essas bases, que são suas faces laterais. O volume dos prismas é definido com base no princípio de Cavalieri e é uma medida que se relaciona com a quantidade de espaço que esses sólidos geométricos ocupam. Para calcular o volume de prismas, é necessário conhecer a área de uma de suas bases (A_B) e sua altura (h). A fórmula para o volume é:

V = A_b·h

O princípio de Cavalieri e o cálculo de áreas

O princípio de Cavalieri é uma das formas de mostrar que o volume de um prisma pode ser calculado pela fórmula acima. A ideia desse princípio é cortar os sólidos geométricos em fatias que não possuam profundidade. Depois, somam-se as áreas de cada uma dessas fatias para obter o volume do sólido geométrico que foi recortado.

Definindo o volume do cubo de aresta 1 como 1 cm³, podemos usar o princípio de Cavalieri para mostrar que a fórmula dada acima vale para todo prisma e para alguns corpos redondos.

Formalmente, esse princípio pode ser enunciado da seguinte maneira: se, em dois sólidos, todo plano secante e paralelo a um plano qualquer determina figuras geométricas de áreas iguais, os volumes dos dois sólidos são iguais.

A imagem acima exemplifica o princípio de Cavalieri. Observe que, se as áreas das figuras formadas em cada prisma pelo plano β forem iguais, os dois prismas apresentarão o mesmo volume.

Exemplos

1º) Qual é o volume de um cubo de aresta 14 cm?

Para calcular esse volume, basta encontrar a área da base do cubo e depois multiplicar o resultado pela altura, que é igual à aresta. A área da base de um cubo é igual à área de um quadrado cujo lado é igual à aresta do cubo:

A_B = l² = 14² = 196

O volume é determinado por:

V = A_b·h

V = 196·14

V = 2744 cm³

2º) Um prisma de base retangular possui a base com as seguintes medidas: largura igual ao dobro do comprimento e diagonal igual a 36 cm. Sabendo que a altura desse prisma é de 15 cm, calcule seu volume.

Para descobrir a área da base, é necessário encontrar o valor de x para descobrir as dimensões dela. Como a base é um retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras.

36² = x² + 2x²

36² = 3x²

1296 = x²
3       

x² = 432

x = √432

x ≈ 21

As dimensões do retângulo, aproximadamente, são: x = 21 cm e 2x = 42 cm. O volume aproximado é:

V = A_b·h

V = 21·42·15

V = 13230 cm³