Princípio de Cavalieri

O princípio de Cavalieri hoje em dia é tido como postulado e é usado para determinar fórmulas para o cálculo de volume de sólidos geométricos. Por meio dele, é possível chegar ao volume de qualquer prisma utilizando o volume de um prisma conhecido, desde que o segundo possua a mesma altura que o primeiro e que ambos possuam áreas da base congruentes.

O princípio de Cavalieri

Cavalieri era um matemático do século XVII que teve a seguinte ideia: embora o formato de um sólido geométrico seja modificado, exceto por casos em que ele perde ou ganha massa, seu volume permanecerá inalterado. Esse é o pensamento que fundamenta o princípio, que ainda será definido adiante.

Vejamos o que acontece com dois prismas distintos que possuem o mesmo volume quando deformamos um deles.

Primeiramente, colocaremos os dois prismas de mesmo volume sobre um mesmo plano α.

Dois prismas distintos que possuem área da base e altura congruentes

Os dois prismas acima foram colocados sobre o plano α e possuem área da base e altura congruentes. Pode-se dizer que os prismas são congruentes porque possuem medidas iguais e também que são equivalentes porque possuem volumes iguais.

Note que fizemos um corte nesses prismas por meio do plano β. As figuras formadas no corte, destacadas pelas linhas pontilhadas, são congruentes às bases de seus respectivos prismas.

Cavalieri observou que, deformando um dos dois prismas sem modificar o formato de suas bases ou sua altura, eles continuam com volumes iguais.

O segundo prisma sofreu uma deformação, mas manteve a base quadrada congruente à do primeiro

Na imagem acima, note que o segundo prisma foi deformado, como se sua base estivesse fixa ao plano α e seu topo tivesse sido empurrado para a direita. Isso não modificou o formato de sua base, que permanece quadrada e congruente à do outro prisma, nem sua altura.

Note também que o corte realizado pelo plano β ainda gera um quadrado no prisma da direita congruente ao quadrado do prisma da esquerda. Dessa maneira, Cavalieri propôs que, independentemente da altura em que esse corte é feito, o formato da figura obtida no segundo prisma é igual ao da primeira e elas são congruentes. Dessa maneira, como os dois prismas possuem a mesma altura, continuam equivalentes (com volumes iguais).

Daí segue que o volume de um prisma (reto ou oblíquo) é o produto da área da base pela altura. Em outras palavras

V = A_b·h

V = Volume do prisma; A_b = área de sua base; e h = altura.

Formalização

Dados dois sólidos geométricos A e B de mesma altura e áreas das bases, que, por sua vez, estão contidas no mesmo plano α. Os sólidos A e B têm o mesmo volume se qualquer plano β, paralelo a α, determinar duas secções transversais com áreas iguais.

Dessa maneira, o princípio de Cavalieri pode ser usado também para sólidos completamente diferentes, mas que possuem mesma altura, bases com áreas iguais e que qualquer corte realizado nos dois por um mesmo plano resulte em figuras com áreas iguais. Observe o exemplo abaixo:

Os prismas possuem bases diferentes, mas se a área de qualquer secção transversal feita no primeiro for igual à sua respectiva secção no segundo e, além disso, suas alturas forem iguais, então os seus volumes também serão.

Esses sólidos não precisam ser prismas. Pode ser qualquer sólido geométrico com faces retas ou circulares.