Aplicação dos logaritmos

Os logaritmos possuem aplicações em diversas áreas do conhecimento, como na própria Matemática, em Química, Biologia, Geografia etc.

Os logaritmos podem ser aplicados em diversas áreas do conhecimento, como Geografia, Medicina e Química

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, entre outras. Por meio de exemplos, demonstraremos a utilização dessas técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

1º Exemplo – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária, que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:

Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C·(1 + i)^t. De acordo com a situação-problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?

M = C·(1 + i)^t
3500 = 500·(1 + 0,035)^t
3500/500 = 1,035^t
1,035^t = 7

Aplicando o logaritmo:

log 1,035^t = log 7
t·log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica)
t·0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

2º Exemplo – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade dobrará, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0·(1,03) = P1
População após dois anos = P0·(1,03)²= P2
População após x anos = P0·(1,03)^x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2·P0
P0·(1,03)^x = 2·P0
1,03^x= 2

Aplicando logaritmo:

log 1,03^x = log 2
x·log 1,03 = log2
x·0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

3º Exemplo – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, reduza-se a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q₀·e^–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q₀·e^–^rt
200 = 1000·e^–^0,02t
200/1000 = e^–^0,02t
1/5 = e^–^0,02t (aplicando definição)
–0,02t = log_e1/5
–0,02t = log_e5^–¹
–0,02t = –log_e5
–0,02t = –ln5 (–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47